сделай все задания

Ниже решения заданий 20–25.

20. Решите неравенство

\[ \frac{x^2}{x-25}\le x,\qquad x\ne25. \]

Перенесём всё влево: \[ \frac{x^2}{x-25}-x\le0 \] \[ \frac{x^2-x(x-25)}{x-25}\le0 \] \[ \frac{25x}{x-25}\le0. \]

Нули числителя и знаменателя: \(x=0\), \(x=25\).
Подходит промежуток, где выражение неположительно, причём \(x=0\) включаем, \(x=25\) исключаем.

Ответ: \(\boxed{[0;25)}\).

---

21. Скорость первого велосипедиста

Пусть скорость первого — \(v\) км/ч, а весь путь равен \(2S\).
Тогда первый ехал время \[ \frac{2S}{v}. \]

Второй ехал первую половину пути со скоростью \(v+4{,}5\), а вторую — со скоростью \(15\): \[ \frac{S}{v+4{,}5}+\frac{S}{15}. \]

Они прибыли одновременно: \[ \frac{2S}{v}=\frac{S}{v+4{,}5}+\frac{S}{15}. \]

Сократим на \(S\): \[ \frac2v=\frac1{v+4{,}5}+\frac1{15}. \]

После преобразований: \[ 2v^2-21v-270=0, \] \[ v=18 \quad \text{или}\quad v=-7{,}5. \]

Скорость положительна, значит \(v=18\) км/ч.

Ответ: \(\boxed{18\text{ км/ч}}\).

---

22. График и прямая \(y=m\)

Функция: \[ y= \begin{cases} x^2-10x+25, & x>4,\\ 1{,}5x-3, & x\le4. \end{cases} \]

Заметим: \[ x^2-10x+25=(x-5)^2. \]

График состоит из:

• прямой \(y=1{,}5x-3\) при \(x\le4\), с закрытой точкой \((4;3)\);
• параболы \(y=(x-5)^2\) при \(x>4\), с выколотой точкой \((4;1)\) и вершиной \((5;0)\).

Считаем число пересечений с горизонтальной прямой \(y=m\):

• при \(m=0\) две точки;
• при \(0<m<1\) три точки;
• при \(1<m\le3\) две точки;
• при \(m=1\) тоже две точки;
• при \(m>3\) одна точка.

Значит ровно две общие точки будут при \[ m=0 \quad \text{или}\quad 1<m\le3. \]

Ответ: \(\boxed{m\in\{0\}\cup(1;3]}\).

---

23. Радиус описанной окружности

Дуги относятся как \[ 3:5:16. \] Всего частей: \[ 3+5+16=24. \] Одна часть: \[ \frac{360^\circ}{24}=15^\circ. \] Значит дуги равны: \[ 45^\circ,\quad 75^\circ,\quad 240^\circ. \]

Большая сторона треугольника лежит против большего угла. Угол, опирающийся на дугу \(240^\circ\), равен \[ \frac{240^\circ}{2}=120^\circ. \]

Большая сторона равна \(12\). По теореме синусов: \[ a=2R\sin A. \] Тогда \[ 12=2R\sin120^\circ \] \[ 12=2R\cdot\frac{\sqrt3}{2} \] \[ 12=R\sqrt3 \] \[ R=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3. \]

Ответ: \(\boxed{4\sqrt3}\).

---

24. Доказательство

Пусть \(M\) — середина стороны \(CD\).

Так как \(NC=ND\), треугольник \(NCD\) равнобедренный с основанием \(CD\). Значит его медиана \(NM\) является и высотой: \[ NM\perp CD. \]

В параллелограмме отрезок, соединяющий середины противоположных сторон, параллелен другой стороне: \[ NM\parallel AD. \]

Так как \(NM\perp CD\) и \(NM\parallel AD\), то \[ AD\perp CD. \] То есть угол \(ADC\) прямой.

Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.

---

25. Расстояние от \(E\) до прямой \(CD\)

Пусть \[ A(0;0),\quad D(45;0),\quad B(0;h),\quad C(20;h). \] Тогда \(AB\) — прямая \(x=0\).

Пусть \(E(0;t)\), а радиус окружности равен \(r\). Центр окружности: \[ O(r;t). \]

Окружность проходит через \(C\) и \(D\), поэтому: \[ (45-r)^2+t^2=r^2, \] \[ (20-r)^2+(h-t)^2=r^2. \]

После исключения \(r\) получаем: \[ 5t^2-18ht+9h^2=4500. \] Отсюда \[ (5t-9h)^2=36(h^2+625). \]

Прямая \(CD\) проходит через \((20;h)\) и \((45;0)\), её уравнение: \[ hx+25y-45h=0. \]

Расстояние от \(E(0;t)\) до \(CD\): \[ d=\frac{|25t-45h|}{\sqrt{h^2+25^2}} =\frac{5|5t-9h|}{\sqrt{h^2+625}}. \]

Так как \[ |5t-9h|=6\sqrt{h^2+625}, \] то \[ d=\frac{5\cdot6\sqrt{h^2+625}}{\sqrt{h^2+625}}=30. \]

Ответ: \(\boxed{30}\).