Как решать деление столбиком с остаткам

Краткий ответ

Деление столбиком с остатком — это то же деление столбиком, только процесс заканчивается, когда цифры делимого кончились, а разделить остаток нацело уже нельзя. Результат записывают так:

$$a = b\cdot q + r,\qquad 0 \le r < b$$

где $a$ — делимое, $b$ — делитель, $q$ — неполное частное, $r$ — остаток. Главное правило: остаток всегда меньше делителя.

Ключевые шаги

1. Запись. Делимое — слева, делитель — за «уголком», частное пишем справа под уголком.
2. Берём начало делимого. Отделяем в делимом столько первых цифр, чтобы получилось число не меньше делителя.
3. Подбираем цифру частного. Смотрим, сколько раз делитель «помещается». Умножаем эту цифру на делитель, вычитаем — получаем остаток.
4. Сносим следующую цифру к остатку и повторяем шаг 3, пока цифры не закончатся.
5. Конец. То, что осталось после последнего вычитания, — это остаток. Если он $0$, число разделилось нацело.

Пример: $7542 : 8$

• $7 < 8$, поэтому берём сразу $75$: $;75 : 8 \to 9$, так как $8\cdot 9 = 72$, остаток $75-72 = 3$;
• сносим $4$: $;34 : 8 \to 4$, так как $8\cdot 4 = 32$, остаток $34-32 = 2$;
• сносим $2$: $;22 : 8 \to 2$, так как $8\cdot 2 = 16$, остаток $22-16 = 6$;
• цифры кончились, значит остаток $6$.

$$7542 : 8 = 942\ (\text{ост. } 6)$$

Проверка: $8\cdot 942 + 6 = 7536 + 6 = 7542$ ✔ и $6 < 8$ ✔

Два важных случая

• Ноль в частном. Если после сноса цифры получилось число меньше делителя, в частное пишем $0$ и сносим следующую цифру. Например, $6214 : 6 = 1035$ (ост. $4$): после $6:6=1$ сносим $2$, а $2<6$ — значит $0$ в частном.
• Остаток не меньше делителя — сигнал ошибки: цифру частного подобрали мало́, её надо увеличить.

Как проверить себя

Умножь делитель на частное и прибавь остаток — должно получиться делимое. И отдельно проверь, что остаток меньше делителя. Эти два условия и есть определение деления с остатком.