риши 102 как в класе и начирти

Задача 102

Краткий ответ: \(\triangle ABC=\triangle CDA\) по третьему признаку равенства треугольников — по трём сторонам.

Чертёж. Начерти четырёхугольник \(ABCD\), проведи диагонали \(AC\) и \(BD\). Точку их пересечения обозначь \(O\).

B────────C
│╲      ╱│
│ ╲    ╱ │
│  ╲  ╱  │
│   ╲╱   │
│   ╱╲   │
│  ╱  ╲  │
│ ╱    ╲ │
│╱      ╲│
A────────D

В тетради отметь: \(AO=OC\) — одинаковыми засечками, \(BO=OD\) — другими одинаковыми засечками. \(O\) — точка пересечения диагоналей.

Доказательство.

Пусть \(O=AC\cap BD\). По условию: \[ AO=OC,\qquad BO=OD. \]

1. Рассмотрим \(\triangle AOB\) и \(\triangle COD\):

   • \(AO=CO\);
   • \(BO=DO\);
   • \(\angle AOB=\angle COD\) как вертикальные углы.

   Значит, \(\triangle AOB=\triangle COD\) по двум сторонам и углу между ними. Отсюда: \[ AB=CD. \]

2. Рассмотрим \(\triangle BOC\) и \(\triangle DOA\):

   • \(BO=DO\);
   • \(CO=AO\);
   • \(\angle BOC=\angle DOA\) как вертикальные углы.

   Значит, \(\triangle BOC=\triangle DOA\). Отсюда: \[ BC=DA. \]

3. Теперь рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\):

   • \(AB=CD\);
   • \(BC=DA\);
   • \(AC=CA\) — общая сторона.

   Следовательно, \(\triangle ABC=\triangle CDA\) по трём сторонам. Что и требовалось доказать.

Проверка: порядок вершин соблюдён: \(A\leftrightarrow C\), \(B\leftrightarrow D\), \(C\leftrightarrow A\), поэтому \(AB\leftrightarrow CD\), \(BC\leftrightarrow DA\), \(AC\leftrightarrow CA\).

Идея: сначала маленькие треугольники при точке \(O\) дают равенство противоположных сторон, а потом большие треугольники сравниваются по трём сторонам.