Кратко: при криволинейном движении мгновенная скорость направлена по касательной к траектории. При движении по окружности с постоянной по модулю скоростью вектор скорости всё время меняет направление, поэтому есть центростремительное ускорение, направленное к центру:
\[ a_{\text{ц.с.}}=\frac{v^2}{R}. \] Основные связи:
\[ T=\frac1\nu,\qquad v=\frac{2\pi R}{T}=2\pi R\nu,\qquad \omega=\frac{\varphi}{t}=\frac{2\pi}{T},\qquad v=\omega R. \]

---

Конспект § 9. Скорость при криволинейном движении. Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью

1. Определения

• Криволинейное движение — движение, траектория которого является кривой линией.
• Мгновенная скорость в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в этой точке.
• Любую криволинейную траекторию можно приближённо представить как совокупность дуг окружностей разных радиусов.
• Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью — движение, при котором модуль скорости \(v\) не меняется, а направление скорости непрерывно изменяется.
• Тело рассматривают как материальную точку, если его размеры малы по сравнению с радиусом окружности.
• Период обращения \(T\) — время одного полного оборота.
• Частота обращения \(\nu\) — число оборотов тела по окружности в единицу времени.
• Линейная скорость \(v\) — модуль скорости точки при движении по окружности.
• Угол поворота \(\varphi\) — угол, на который поворачивается радиус, проведённый к движущейся точке.
• 1 радиан — центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.
• Угловая скорость \(\omega\) — отношение угла поворота \(\varphi\) к промежутку времени \(t\), за который этот поворот произошёл: \[ \omega=\frac{\varphi}{t}. \]
• Центростремительное ускорение — ускорение тела, движущегося по окружности с постоянной по модулю скоростью; в любой точке оно направлено по радиусу к центру окружности.

---

2. Величины и единицы СИ

Величина	Обозначение	Единица СИ
Радиус окружности	\(R\)	м
Время	\(t\)	с
Период обращения	\(T\)	с
Частота обращения	\(\nu\)	\(\text{с}^{-1}\)
Угол поворота	\(\varphi\)	рад
Угловая скорость	\(\omega\)	рад/с
Линейная скорость	\(v\)	м/с
Центростремительное ускорение	\(a_{\text{ц.с.}}\)	м/с²
Число оборотов	\(N\)	безразмерная величина

Дополнительно:
\[ 1\text{ рад}=\frac{360^\circ}{2\pi}\approx57^\circ17'48'',\qquad 2\pi\text{ рад}=360^\circ. \]

---

3. Все основные формулы

Период и частота

\[ T=\frac1\nu,\qquad \nu=\frac1T. \]

Если тело совершило \(N\) оборотов за время \(t\):

\[ \nu=\frac{N}{t},\qquad T=\frac{t}{N}. \]

Угловая скорость

\[ \omega=\frac{\varphi}{t}. \]

За один полный оборот тело поворачивается на угол \(2\pi\), поэтому:

\[ \omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi\nu. \]

Также:

\[ T=\frac{2\pi}{\omega}. \]

Линейная скорость

За один оборот тело проходит путь, равный длине окружности \(2\pi R\), за время \(T\):

\[ v=\frac{2\pi R}{T}. \]

С учётом \(T=\frac1\nu\):

\[ v=2\pi R\nu. \]

Связь линейной и угловой скорости:

\[ v=\omega R. \]

Центростремительное ускорение

\[ a_{\text{ц.с.}}=\frac{v^2}{R}. \]

Следствия:

\[ a_{\text{ц.с.}}=\omega^2R=v\omega. \]

Угол поворота

\[ \varphi=2\pi N=\omega t. \]

За один оборот:

\[ \varphi=2\pi,\qquad s=2\pi R. \]

---

4. Ключевые тезисы

1. При криволинейном движении скорость направлена по касательной, а не по радиусу и не по хорде.
2. Это подтверждается опытом: искры от вращающегося точильного камня летят по касательной к окружности.
3. При движении по окружности с постоянной по модулю скоростью:
   • модуль скорости \(v\) постоянен;
   • направление скорости постоянно меняется;
   • вектор скорости — величина переменная;
   • значит, движение происходит с ускорением.
4. Центростремительное ускорение направлено к центру окружности, то есть перпендикулярно вектору скорости.
5. При постоянных \(v\) и \(R\) модуль центростремительного ускорения постоянен, но его направление всё время меняется.
6. Если траектория сложная, её разбивают на малые дуги окружностей разных радиусов; в каждой точке ускорение направлено к центру соответствующей окружности.
7. Нельзя говорить «скорость постоянна», если имеется в виду вектор. Правильно: модуль скорости постоянен, а направление меняется.

---

5. Почему ускорение направлено к центру

Возьмём две близкие точки \(A\) и \(B\) на окружности. В них векторы скорости \(\vec v_A\) и \(\vec v_B\) направлены по касательным. При переходе из \(A\) в \(B\) вектор скорости поворачивается, поэтому изменение скорости \(\Delta \vec v=\vec v_B-\vec v_A\) направлено внутрь окружности — к её центру.

Ускорение:

\[ \vec a=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}, \]

поэтому и оно направлено к центру. Это и есть центростремительное ускорение.

---

6. Проверка формул и единиц

• Размерность скорости: \[ [v]=\frac{[R]}{[T]}=\frac{\text{м}}{\text{с}}=\text{м/с}. \]
• Размерность ускорения: \[ [a]=\frac{[v^2]}{[R]}=\frac{\text{м}^2/\text{с}^2}{\text{м}}=\text{м/с}^2. \]
• Связь \(v=\omega R\): \[ [\omega R]=\frac{\text{рад}}{\text{с}}\cdot\text{м}=\text{м/с}, \] так как радиан — безразмерная величина.

---

7. Как решать задачи по этой теме

1. Перевести все данные в СИ.
2. Если даны число оборотов \(N\) и время \(t\): \[ \nu=\frac{N}{t},\qquad T=\frac{t}{N}. \]
3. Найти линейную скорость: \[ v=\frac{2\pi R}{T}=2\pi R\nu. \]
4. Найти угловую скорость: \[ \omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi\nu. \]
5. Найти центростремительное ускорение: \[ a_{\text{ц.с.}}=\frac{v^2}{R}. \]
6. Проверить единицы измерения и правдоподобность ответа: при увеличении \(v\) ускорение растёт, при увеличении \(R\) — уменьшается.