Реши задание на изображении

Везде \(k\in\mathbb Z\).

Краткий ответ

1. \(\displaystyle x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k\)

2. \(\displaystyle x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad x=\pm\arccos\frac13+2\pi k\)

3. \(\displaystyle x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad x=-\operatorname{arctg}\frac32+\pi k\)

4. \(\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi k\)

5. \(\displaystyle x=-\frac{7\pi}{24}+\pi k,\quad x=\frac{13\pi}{24}+\pi k\)

6. \(\displaystyle x=8\pi k,\quad x=\frac{8\pi}{3}+8\pi k\)

7. \(\displaystyle x=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\)

8. На фото справа похоже на \(-\frac83\). Тогда
   \[ \cos 4x=-\frac83 \] решений нет, потому что \(|\cos 4x|\le 1\), а \(\left|-\frac83\right|>1\).
   Если там записано \(-\frac23\), то \[ x=\pm\frac14\arccos\left(-\frac23\right)+\frac{\pi k}{2}. \]

9. \(\displaystyle x\in\left[-\frac{\pi}{4}+2\pi k;\ \frac{\pi}{4}+2\pi k\right]\)

10. \(\displaystyle x\in\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi k;\ \frac{7\pi}{3}+2\pi k\right)\)
    На промежутке \([0;2\pi]\):
    \[ x\in\left[0;\frac{\pi}{3}\right)\cup\left(\frac{2\pi}{3};2\pi\right]. \]

Как это получается

№1–2 — замена переменной.
В №1 берём \(t=\sin x\): \[ 2t^2+t-1=0 \Rightarrow t=\frac12,\ -1. \] Дальше решаем \(\sin x=\frac12\) и \(\sin x=-1\).

В №2 используем \(\sin^2x=1-\cos^2x\), получаем квадратное уравнение относительно \(\cos x\): \[ 6(1-\cos^2x)+5\cos x-7=0, \] \[ 6\cos^2x-5\cos x+1=0, \] корни \(\cos x=\frac12\) и \(\cos x=\frac13\).

№3–4 — однородные уравнения.
В №3 делим на \(\cos^2x\) — при \(\cos x=0\) решений нет. Получаем: \[ 2\operatorname{tg}^2x+\operatorname{tg}x-3=0, \] откуда \(\operatorname{tg}x=1\) или \(\operatorname{tg}x=-\frac32\).

В №4 выносим \(\cos x\): \[ \cos x(\cos x+\sin x)=0. \] Отсюда \(\cos x=0\) или \(\operatorname{tg}x=-1\).

№5–7 — простейшие тригонометрические уравнения.
Используем общие формулы: \[ \sin u=a,\qquad \cos u=a,\qquad \operatorname{tg}u=a. \] Например, в №5: \[ 2x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{3}+2\pi k \] или \[ 2x+\frac{\pi}{4}=\frac{4\pi}{3}+2\pi k. \] Отсюда получаются две серии ответов.

В №7 у тангенса период \(\pi\): \[ 2x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}+\pi k. \]

№9–10 — неравенства по единичной окружности.
Для \(\cos x\) смотрим абсциссу точки, для \(\sin x\) — ординату.
В №9 нужна правая дуга около \(0\): от \(-\frac{\pi}{4}\) до \(\frac{\pi}{4}\), границы включаются.

В №10 условие \(\sin x<\frac{\sqrt3}{2}\) выполняется везде, кроме дуги \[ \left[\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3}\right] \] и её сдвигов на \(2\pi\).

Проверка.
Например, в №1 при \(\sin x=\frac12\): \[ 2\cdot\frac14+\frac12-1=0. \] В №5 при \(x=\frac{13\pi}{24}\): \[ 2x+\frac{\pi}{4}=\frac{4\pi}{3},\qquad \sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2}. \] В №8 действительно нельзя получить косинус, равный \(-\frac83\), так как косинус всегда от \(-1\) до \(1\).