Реши задание на изображении

Все углы — в радианах; \(n,k\in\mathbb Z\).

Краткие ответы

1. \(\boxed{x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n}\) или \(\boxed{x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n}\)

2. \(\boxed{x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n}\) или \(\boxed{x=\pm\arccos\frac13+2\pi n}\)

3. \(\boxed{x=\frac{\pi}{4}+\pi n}\) или \(\boxed{x=-\operatorname{arctg}\frac32+\pi n}\)

4. \(\boxed{x=\frac{\pi}{2}+\pi n}\) или \(\boxed{x=-\frac{\pi}{4}+\pi n}\)

5. \(\boxed{x=-\frac{7\pi}{24}+\pi n}\) или \(\boxed{x=\frac{13\pi}{24}+\pi n}\)

6. \(\boxed{x=8\pi n}\) или \(\boxed{x=8\pi n+\frac{8\pi}{3}}\)

7. \(\boxed{x=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}}\)

8. \(\boxed{x=\pm\frac14\arccos\left(-\frac23\right)+\frac{\pi n}{2}}\)

9. \(\boxed{-\frac{\pi}{4}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{4}+2\pi n}\)

10. \(\boxed{x\in\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\ \frac{7\pi}{3}+2\pi n\right)}\)

На одном периоде \([0;2\pi)\):
\(\boxed{[0;\frac{\pi}{3})\cup(\frac{2\pi}{3};2\pi)}\).

Как получаются такие ответы

1–2. Сведение к квадратному уравнению

В №1 обозначаем \(t=\sin x\): \[ 2t^2+t-1=0,\qquad t=\frac12,\ -1. \] Отсюда \(\sin x=\frac12\) или \(\sin x=-1\).

В №2 используем \(\sin^2x=1-\cos^2x\), обозначаем \(t=\cos x\): \[ 6(1-t^2)+5t-7=0 \] \[ 6t^2-5t+1=0,\qquad t=\frac12,\ \frac13. \] Оба значения лежат в \([-1;1]\), значит, посторонних нет.

3–4. Однородные уравнения и разложение

В №3 делим на \(\cos^2x\), предварительно проверив \(\cos x=0\): при \(\cos x=0\) решений нет. Получаем \[ 2\operatorname{tg}^2x+\operatorname{tg}x-3=0. \] Отсюда \(\operatorname{tg}x=1\) или \(\operatorname{tg}x=-\frac32\).

В №4 выносим общий множитель: \[ \cos x(\cos x+\sin x)=0. \] Поэтому \(\cos x=0\) или \(\operatorname{tg}x=-1\).

5–8. Сначала решаем для всего угла

Используем общие формулы: \[ \sin y=a \Rightarrow y=(-1)^k\arcsin a+\pi k, \] \[ \cos y=a \Rightarrow y=\pm\arccos a+2\pi k, \] \[ \operatorname{tg} y=a \Rightarrow y=\operatorname{arctg}a+\pi k. \]

Например, в №5: \[ 2x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{3}+2\pi k \] или \[ 2x+\frac{\pi}{4}=\frac{4\pi}{3}+2\pi k. \] После выражения \(x\) получаются две серии из ответа.

В №7 важно помнить, что тангенс определён не везде: \[ 2x+\frac{\pi}{3}\ne \frac{\pi}{2}+\pi k. \] Найденные значения этому условию не противоречат.

9–10. Неравенства — по тригонометрической окружности

• В №9 \(\cos x\) — это абсцисса точки окружности. Условию \(\cos x\ge \frac{\sqrt2}{2}\) соответствует правая дуга между углами \(-\frac{\pi}{4}\) и \(\frac{\pi}{4}\).
• В №10 \(\sin x\) — ордината. Равенство \(\sin x=\frac{\sqrt3}{2}\) достигается при \(x=\frac{\pi}{3}\) и \(x=\frac{2\pi}{3}\). Верхняя дуга между ними исключается. Так как неравенство строгое, граничные точки не входят.

Проверка

В №1–2 найденные значения \(t\) лежат в \([-1;1]\).
В №3 случай \(\cos x=0\) действительно не даёт корней.
В №5 подстановка даёт \(2x+\frac{\pi}{4}\equiv -\frac{\pi}{3}\pmod{2\pi}\) или \(\frac{4\pi}{3}\pmod{2\pi}\).
В №10 границы \(\frac{\pi}{3}\) и \(\frac{2\pi}{3}\) не включены из-за строгого знака.