Дай мне всю алгебру чтобы сдать ОГЭ на отлично понятным языком

Коротко: «вся алгебра» для ОГЭ — это 7 больших блоков. Не нужно зубрить учебник; нужно понимать идею каждого блока и уметь проверять ответ. Важно: «отлично» по математике — это ещё геометрия и практические задачи, здесь только алгебраическая часть.

1. Числа и вычисления

Что понять: дроби, степени, корни и проценты — это инструменты, а не отдельные «темы».

Что знать:

• Степени: \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\), \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), \((a^m)^n=a^{mn}\), \(a^{-n}=\dfrac1{a^n}\), \(a^0=1\) при \(a\ne0\).
• Корни: \(\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\), \(\sqrt{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\), \(\sqrt{a^2}=|a|\).
• Проценты: \(p\%\) от \(A\) — это \(A\cdot\dfrac p{100}\). Увеличить на \(p\%\) — умножить на \(1+\dfrac p{100}\).

Частая ошибка: \((a+b)^2\ne a^2+b^2\) и \(\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b\).

2. Выражения и преобразования

Что понять: упростить выражение — значит переписать его короче, но так, чтобы значение при допустимых \(x\) не изменилось.

Что знать:

• \((a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2\);
• \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\);
• \(a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)\).

Порядок действий: вынести общий множитель → попробовать группировку → увидеть формулу → сократить. Всегда следи за ОДЗ: знаменатель не равен \(0\), под корнем не отрицательное число.

Проверка: подставь в исходное и упрощённое выражение одно и то же удобное число — результаты должны совпасть.

3. Уравнения

Что понять: уравнение — это весы. Можно переносить слагаемые, умножать и делить обе части на одно и то же число, кроме нуля.

• Линейное \(ax=b\): при \(a\ne0\) корень \(x=\dfrac ba\); при \(a=0,b=0\) — бесконечно много корней; при \(a=0,b\ne0\) — корней нет.
• Квадратное \(ax^2+bx+c=0\): \(D=b^2-4ac\). Если \(D>0\) — два корня, \(D=0\) — один, \(D<0\) — нет. Корни: \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\). По теореме Виета: \(x_1+x_2=-\dfrac ba\), \(x_1x_2=\dfrac ca\).
• Рациональное уравнение: умножь на общий знаменатель, но проверь, что найденные корни не обращают знаменатель в ноль.
• Система: подстановка или сложение. Ответ — пара чисел, проверь её в обоих уравнениях.

Пример проверки: \(x^2-5x+6=0\). \(D=25-24=1\), корни \(2\) и \(3\). По Виету: \(2+3=5\), \(2\cdot3=6\) — верно.

4. Неравенства

Что понять: решение неравенства — это промежуток, а не одно число.

• Если умножить или разделить обе части на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.
• Квадратное неравенство удобно решать методом интервалов: найти корни, отметить их на оси, взять пробную точку и определить знак.
• Система неравенств — пересечение решений.
• Двойное неравенство: выполняй действия сразу со всеми тремя частями.

5. Функции и графики

Что понять: график — это все точки \((x;y)\), где \(y=f(x)\).

• Линейная \(y=kx+b\): \(k\) отвечает за наклон, \(b\) — точка пересечения с осью \(y\). При \(k>0\) функция возрастает, при \(k<0\) — убывает.
• Квадратичная \(y=ax^2+bx+c\): при \(a>0\) ветви вверх, при \(a<0\) — вниз. Вершина: \(x_0=-\dfrac b{2a}\), \(y_0=f(x_0)\).
• \(y=\dfrac kx\): гипербола. При \(k>0\) — I и III четверти, при \(k<0\) — II и IV.
• \(y=\sqrt x\): область определения \(x\ge0\).
• \(y=|x|\): график в форме буквы V.

Читать график просто: значение функции ищем по оси \(y\), аргумент — по оси \(x\).

6. Прогрессии

• Арифметическая: \(a_n=a_1+(n-1)d\), \(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\).
• Геометрическая: \(b_n=b_1q^{n-1}\), \(S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}\) при \(q\ne1\).

Главное отличие: в арифметической каждый раз прибавляем одно и то же число, в геометрической — умножаем.

7. Текстовые задачи

Алгоритм: обозначь неизвестное → составь уравнение по условию → реши → проверь единицы и смысл ответа.

Полезно помнить: \(s=vt\); работа \(A=pt\), где \(p\) — производительность; масса чистого вещества в растворе или сплаве — \(m\cdot\dfrac p{100}\).

8. Вероятность и статистика

• Вероятность: \(P=\dfrac mn\), где \(m\) — благоприятные исходы, \(n\) — все исходы. Всегда \(0\le P\le1\).
• Среднее — сумма всех значений, делённая на их количество.
• Медиана — середина упорядоченного ряда.
• Мода — самое частое значение.

Как выйти на «отлично»

1. Первую часть решай без ошибок — она даёт основную часть баллов.
2. Во второй части выбери 2–3 задачи, которые решаешь стабильно: уравнение, график, прогрессия, текстовая задача.
3. Правило трёх примеров: разобрал формулу — реши по ней 3 задачи.
4. Веди журнал ошибок: что сделал, почему неверно, как надо.
5. Проверяй ответ: подстановкой, ОДЗ, знаком, единицами измерения.
6. Тренируй время: 5 задач за 20 минут.
7. На экзамене есть справочные материалы — заранее научись быстро находить нужную формулу.

Скажи, какой блок самый трудный, — разберём его по шагам на примерах.