Реши задание на изображении
Краткие ответы:
| Пункт | Неравенство | Ответ |
|---|---|---|
| а) | \(0{,}01x^2\le 1\) | \(x\in[-10;10]\) |
| б) | \(\frac12x^2>12\) | \(x\in(-\infty;-2\sqrt6)\cup(2\sqrt6;+\infty)\) |
| в) | \(4x\le -x^2\) | \(x\in[-4;0]\) |
| г) | \(\frac13x^2>\frac19\) | \(x\in\left(-\infty;-\frac1{\sqrt3}\right)\cup\left(\frac1{\sqrt3};+\infty\right)\) |
| д) | \(5x^2>2x\) | \(x\in(-\infty;0)\cup\left(\frac25;+\infty\right)\) |
| е) | \(-0{,}3x<0{,}6x^2\) | \(x\in\left(-\infty;-\frac12\right)\cup(0;+\infty)\) |
Как решать:
Если есть \(x^2\), удобно пользоваться правилом: \[ x^2\le a^2 \Rightarrow -a\le x\le a, \qquad x^2>a^2 \Rightarrow x<-a \text{ или } x>a. \]
В остальных случаях переносим всё в одну сторону, раскладываем на множители и используем параболу:
при положительном коэффициенте перед \(x^2\) выражение положительно вне корней, отрицательно — между корнями.Если неравенство нестрогое, концы включаем; если строгое — не включаем.
По шагам:
а)
\[
0{,}01x^2\le1 \;\Rightarrow\; x^2\le100
\]
\[
-10\le x\le10
\]
Ответ: \([-10;10]\).
б)
\[
\frac12x^2>12 \;\Rightarrow\; x^2>24
\]
\[
x<-\sqrt{24}=-2\sqrt6 \quad\text{или}\quad x>2\sqrt6
\]
Ответ: \((-\infty;-2\sqrt6)\cup(2\sqrt6;+\infty)\).
в)
\[
4x\le -x^2 \;\Rightarrow\; x^2+4x\le0
\]
\[
x(x+4)\le0
\]
Корни: \(-4\) и \(0\). Парабола ветвями вверх, берём промежуток между корнями:
\[
[-4;0].
\]
г)
\[
\frac13x^2>\frac19 \;\Rightarrow\; 3x^2>1
\]
\[
x^2>\frac13
\]
\[
x<-\frac1{\sqrt3}\quad\text{или}\quad x>\frac1{\sqrt3}
\]
Ответ: \(\left(-\infty;-\frac1{\sqrt3}\right)\cup\left(\frac1{\sqrt3};+\infty\right)\).
д)
\[
5x^2>2x \;\Rightarrow\; 5x^2-2x>0
\]
\[
x(5x-2)>0
\]
Корни: \(0\) и \(\frac25\). Знак \(>\), значит берём внешние промежутки:
\[
x<0 \quad\text{или}\quad x>\frac25.
\]
е)
\[
-0{,}3x<0{,}6x^2
\]
Разделим на \(0{,}3>0\), знак не меняется:
\[
-x<2x^2
\]
\[
2x^2+x>0
\]
\[
x(2x+1)>0
\]
Корни: \(-\frac12\) и \(0\). Берём внешние промежутки:
\[
x<-\frac12 \quad\text{или}\quad x>0.
\]
