Сила упругости — подробный разбор

1. Физическая природа: откуда берётся сила

Сила упругости имеет электромагнитную природу. Она — результат взаимодействия молекул и атомов вещества.

Представь два атома на расстоянии $r$. Между ними действуют сразу две силы:

• притяжение (слабее убывает с расстоянием);
• отталкивание (сильнее растёт при сближении).

Их сумма даёт результирующую $F(r)$ с «ямой» — положением равновесия $r_0$:

Расстояние	Что преобладает	Что происходит с телом
$r<r_0$	отталкивание	тело сжато, сопротивляется сжатию
$r=r_0$	силы равны	тело недеформировано
$r>r_0$	притяжение	тело растянуто, сопротивляется растяжению

Вывод: любая деформация выводит молекулы из положения равновесия, и они «тянут» обратно. Это и есть сила упругости. Именно поэтому она всегда направлена против смещения — отсюда знак «минус» в законе Гука.

2. Определение и четыре свойства силы упругости

Сила упругости — сила, возникающая при деформации тела и направленная на восстановление прежних формы и размеров.

Запомни четыре ключевых момента (на них строятся все задачи):

1. Причина, а не следствие. Сила упругости возникает из-за деформации. Нет деформации — нет силы.
2. Направление. Всегда противоположно смещению частиц тела.
3. Точка приложения. Приложена к тому телу, которое вызывает деформацию. Тянешь пружину рукой — сила упругости действует на руку. Висит груз — пружина действует на груз.
4. Зависимость от деформации, а не от силы. Величина силы упругости определяется величиной деформации $x$, а не тем, кто и с какой силой тянет.

И ещё одно важное свойство: сила упругости — консервативная. Её работа не зависит от формы пути, только от начальной и конечной деформации. Поэтому можно ввести потенциальную энергию (см. п. 9).

3. Виды деформаций и закон Гука для каждого

3.1. Растяжение и сжатие

Вводятся две новые величины:

$$\varepsilon=\frac{|\Delta l|}{l_0}\quad\text{— относительное удлинение (безразмерное)}$$

$$\sigma=\frac{F}{S}\quad\text{— механическое напряжение, }[\sigma]=\text{Па}$$

Закон Гука в «инженерной» форме:

$$\boxed{\sigma=E,|\varepsilon|}\qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{F}{S}=E,\frac{|\Delta l|}{l_0}$$

$E$ — модуль Юнга (модуль упругости), характеристика только материала. Для стали $E\approx2\cdot10^{11}$ Па, для алюминия $\approx7\cdot10^{10}$ Па, для резины $\approx10^{6}$–$10^{7}$ Па.

Отсюда сразу получается формула жёсткости:

$$F=E S\frac{\Delta l}{l_0}=k,\Delta l\quad\Rightarrow\quad \boxed{k=\frac{E S}{l_0}}$$

3.2. Сдвиг

$$\tau=G,\gamma$$

где $\tau$ — касательное напряжение, $\gamma$ — угол сдвига (в радианах, малый), $G$ — модуль сдвига. Так работают заклёпки, шпонки, ножницы, клей на сдвиг.

3.3. Изгиб и кручение

Это комбинации растяжения, сжатия и сдвига. При изгибе балки одни слои растянуты, другие сжаты — внутри есть нейтральный слой, который не деформируется. Кручение вала — это неоднородный сдвиг по сечению. Отдельных «простых» формул закона Гука здесь нет, но принцип тот же.

3.4. Упругая и пластическая деформация

• Упругая — после снятия нагрузки тело возвращается к исходным размерам (пружина, резинка).
• Пластическая — остаётся остаточная деформация (согнутая скрепка, пластилин).

Закон Гука описывает только упругую деформацию и только при малых её значениях.

4. Закон Гука: все формы записи

$$\boxed{\vec{F}_{\text{упр}}=-k,\Delta\vec{l}}$$

Что ищем	Формула	Единица
Сила упругости	$F=k,x$	Н
Удлинение	$x=\dfrac{F}{k}$	м
Жёсткость	$k=\dfrac{F}{x}$	Н/м
Векторная (с направлением)	$\vec{F}_{\text{упр}}=-k,\Delta\vec{l}$	Н

Знак минус — не «математическая придирка». Он фиксирует: сила направлена противоположно вектору деформации. Если пружину растянули вправо ($\Delta\vec{l}$ вправо), сила упругости направлена влево.

График $F(x)$ — прямая через начало координат. Её угловой коэффициент равен $k$: чем круче прямая, тем жёстче пружина.

5. Границы применимости: диаграмма растяжения

Если растягивать образец, увеличивая силу, график $\sigma(\varepsilon)$ проходит несколько участков:

Участок	Название	Что происходит
$OA$	предел пропорциональности $\sigma_{\text{пц}}$	$\sigma\propto\varepsilon$ — закон Гука работает
$AB$	предел упругости $\sigma_{\text{упр}}$	ещё упруго, но прямая искривилась
$BC$	предел текучести $\sigma_{\text{т}}$	материал «течёт», деформация растёт почти без роста нагрузки
$CD$	упрочнение	материал снова сопротивляется
точка $D$	предел прочности $\sigma_{\text{пч}}$	образец разрывается

Вывод для задач: формулу $F=kx$ можно применять, пока деформация мала (обычно до $\sigma_{\text{пц}}$). За этим пределом зависимость нелинейна, а после $\sigma_{\text{пч}}$ тело разрушается.

6. Жёсткость: от чего реально зависит

$$k=\frac{E S}{l_0}$$

Изменяем	Жёсткость	Почему
берём более толстую проволоку ($S\uparrow$)	растёт	больше молекул «держат»
берём более длинную ($l_0\uparrow$)	падает	на каждый участок приходится меньшая деформация
берём более упругий материал ($E\uparrow$)	растёт	сильнее межмолекулярные связи

Жёсткость не зависит от приложенной силы — это характеристика самой пружины. В задачах $k$ обычно дано и постоянно.

Соединение пружин

Параллельно (одинаковое удлинение $x$, силы складываются):

$$k=k_1+k_2$$

Последовательно (одинаковая сила $F$, удлинения складываются):

$$\frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\quad\Rightarrow\quad k=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}$$

Проверка на числах: $k_1=300$ Н/м, $k_2=600$ Н/м. Параллельно: $300+600=900$ Н/м. Последовательно: $\frac{300\cdot600}{900}=200$ Н/м. Обе величины меньше $k_1+k_2$ — логично ✓.

7. Сила упругости вокруг нас: $N$, $T$, $P$

Многие знакомые силы — той же природы, просто их не называют «силой упругости»:

Сила	Обозначение	К чему приложена	Когда возникает
Реакция опоры	$\vec N$	к телу	тело давит на опору
Натяжение нити	$\vec T$	к телу	нить растянута
Вес тела	$\vec P$	к опоре или подвесу	тело давит на опору
Сила упругости пружины	$\vec F_{\text{упр}}$	к телу	пружина деформирована

Вечная путаница: вес $\vec P$ и сила реакции $\vec N$ — не «пара действие-противодействие» по III закону Ньютона, если они приложены к разным телам в разных взаимодействиях. Пара к $\vec N$ — это сила давления тела на опору. И $P=mg$ только при покое или равномерном движении; в лифте с ускорением $P\ne mg$ (см. задачу 3).

8. Невесомость и перегрузки

• Невесомость — состояние, когда $\vec N=0$ (свободное падение, орбита). Сила тяжести действует, а вес исчезает.
• Перегрузка — когда $N>mg$ (лифт разгоняется вверх, самолёт в вираже).

Это прямые следствия того, что сила упругости опоры подстраивается под движение.

9. Энергия и работа упругой деформации

При растяжении от $0$ до $x$ сила упругости растёт линейно, поэтому работа считается как площадь треугольника на графике $F(x)$:

$$\boxed{E_p=\frac{kx^2}{2}}\qquad A_{\text{упр}}=-\frac{kx^2}{2}$$

Знак минус у работы: при растяжении сила упругости направлена против перемещения, она «сопротивляется». При обратном сжатии до нуля она, наоборот, совершает работу $\frac{kx^2}{2}$ — именно так стреляет рогатка и работает пружинный механизм.

10. Разбор задач повышенного уровня

Задача 1. Жёсткость из характеристик материала

Стальная проволока длиной $l_0=1$ м, сечением $S=1$ мм² $=10^{-6}$ м². $E=2\cdot10^{11}$ Па. Найти $k$.

$$k=\frac{ES}{l_0}=\frac{2\cdot10^{11}\cdot10^{-6}}{1}=2\cdot10^{5}\ \text{Н/м}=200\ \text{кН/м}$$

Смысл: чтобы растянуть на 1 мм ($10^{-3}$ м), нужна сила $F=kx=200$ Н — примерно вес ведра воды. Правдоподобно ✓.

Задача 2. Две пружины последовательно под грузом

$k_1=100$ Н/м, $k_2=150$ Н/м, груз $m=0{,}6$ кг. Найти общее удлинение.

$$k=\frac{100\cdot150}{250}=60\ \text{Н/м},\qquad x=\frac{mg}{k}=\frac{0{,}6\cdot9{,}8}{60}\approx0{,}098\ \text{м}\approx9{,}8\ \text{см}$$

Проверка: по отдельности было бы $x_1=\frac{5{,}88}{100}=5{,}88$ см и $x_2=3{,}92$ см; сумма $=9{,}8$ см ✓ — совпадает, потому что сила в обеих пружинах одинакова.

Задача 3. Груз на пружине в лифте

$m=1$ кг, $k=200$ Н/м. Лифт движется с ускорением $a=2$ м/с².

Вверх: II закон Ньютона в проекции на вертикаль (ось вверх):

$$kx-mg=ma\ \Rightarrow\ x=\frac{m(g+a)}{k}=\frac{1\cdot11{,}8}{200}=0{,}059\ \text{м}\approx5{,}9\ \text{см}$$

Вниз: $mg-kx=ma\ \Rightarrow\ x=\frac{m(g-a)}{k}=\frac{1\cdot7{,}8}{200}=0{,}039$ м $\approx3{,}9$ см.

При $a=g$ вниз: $x=0$ — пружина не растянута, невесомость ✓.

Вывод-приём: в неинерциальной системе можно писать $x=\frac{m(g\pm a)}{k}$, но безопаснее каждый раз рисовать силы и писать II закон Ньютона.

Задача 4. Брусок на наклонной плоскости

Плоскость под углом $\alpha$, брусок $m$ покоится. Сила нормальной реакции — это сила упругости со стороны плоскости:

$$N=mg\cos\alpha$$

При $\alpha=30^\circ$: $N=mg\cdot\frac{\sqrt3}{2}\approx0{,}87,mg$ — меньше веса. Именно поэтому на наклонной плоскости труднее «продавить» опору.

Задача 5. Энергия

Пружина $k=200$ Н/м растянута на $x=5$ см. Энергия:

$$E_p=\frac{kx^2}{2}=\frac{200\cdot(0{,}05)^2}{2}=\frac{200\cdot0{,}0025}{2}=0{,}25\ \text{Дж}$$

Проверка размерности: $\text{Н/м}\cdot\text{м}^2=\text{Н}\cdot\text{м}=\text{Дж}$ ✓.

11. Общий алгоритм для любой задачи

1. Рисунок: тело, пружина/опора/нить, все силы, оси.
2. Что деформировано? Определи, к какому телу приложена сила упругости.
3. СИ: см → м, мм² → м², г → кг.
4. Уравнение: равновесие ($\sum\vec F=0$) или II закон Ньютона ($\sum\vec F=m\vec a$).
5. Подстановка $F=kx$ (или $x=F/k$, или $k=F/x$).
6. Проверка: размерность, порядок величины, направление, согласованность с другими пунктами.

12. Ошибки, из-за которых теряют баллы

• $x$ — это удлинение, а не длина: правильно $x=l-l_0$.
• Забыли перевести см в м — ответ в 100 раз больше.
• Пишут $kx=mg$ там, где есть ускорение (лифт) — потеряли $ma$.
• Считают, что $k$ зависит от силы натяжения.
• Путают вес и силу реакции опоры / силу тяжести.
• Применяют $F=kx$ за пределом пропорциональности (пластическая деформация).
• В последовательном соединении складывают жёсткости (нужно складывать податливости $1/k$).

13. Быстрая самопроверка

1. Пружина $k=250$ Н/м под действием силы $5$ Н: $x=\frac{5}{250}=0{,}02$ м $=2$ см.
2. Та же пружина, энергия при $x=2$ см: $E_p=\frac{250\cdot0{,}0004}{2}=0{,}05$ Дж.
3. Две такие пружины параллельно: $k=500$ Н/м; последовательно: $125$ Н/м.

Если все три сошлись — тему ты держишь уверенно. Скажи, какой пункт разобрать ещё глубже (например, диаграмму растяжения или задачи с лифтом), и решим ещё несколько примеров.

Сила упругости — продолжаем: новые задачи, тонкости и практика

1. Задача «на два тела»: брусок тянет другой брусок через пружину

Два бруска $m_1=2$ кг и $m_2=3$ кг лежат на гладком столе, соединены пружиной $k=100$ Н/м. К первому приложена сила $F=10$ Н вдоль пружины. Найти удлинение пружины.

Ключевая идея: пружина — единственное, что связывает тела, значит она действует на оба бруска с одинаковой по модулю силой (III закон Ньютона). Но ускорение у системы общее.

Вся система: $a=\dfrac{F}{m_1+m_2}=\dfrac{10}{5}=2$ м/с².

Второй брусок разгоняется только силой упругости:

$$F_{\text{упр}}=m_2a=3\cdot2=6\ \text{Н}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{6}{100}=0{,}06\ \text{м}=6\ \text{см}$$

Проверка через первый брусок: $F-F_{\text{упр}}=m_1a \Rightarrow 10-6=2\cdot2$ ✓.

Типичная ошибка: писать $kx=F=10$ Н. Тогда $x=10$ см — неверно, потому что часть силы идёт на разгон первого бруска.

2. Пружина стоит на столе, на ней груз: две деформации

Груз $m=1$ кг лежит на пружине $k=500$ Н/м, стоящей на полу. Что деформировано?

• Пружина сжата силой $mg=9{,}8$ Н: $x=\dfrac{9{,}8}{500}=0{,}0196$ м $\approx2$ см.
• Пол деформирован силой $mg$ (груз давит через пружину).

Обрати внимание: вес груза приложен к пружине, а сила упругости пружины — к грузу (вверх) и к полу (вниз). Три силы, три разных тела приложения — частая ловушка в задачах на «вес».

3. Стержень, закреплённый с двух концов (статика)

Стержень длиной $L$, сечением $S$ зажат между двумя стенами и нагрет на $\Delta T$. Возникает термическое напряжение:

$$\sigma=E\alpha\Delta T,\qquad F=ES\alpha\Delta T$$

где $\alpha$ — температурный коэффициент расширения. Стержень не может удлиниться, поэтому деформация «превращается» в напряжение. Это уже за пределами школьной программы, но отлично показывает: сила упругости — это всегда реакция на попытку изменить размер.

4. Пружина под углом: векторный расчёт

Груз подвешен на двух нитях, образующих угол $2\alpha$ с вертикалью. Найти натяжение каждой.

Условие равновесия по вертикали: $2T\cos\alpha=mg$, значит

$$T=\frac{mg}{2\cos\alpha}$$

При $\alpha=60^\circ$: $T=\dfrac{mg}{2\cdot0{,}5}=mg$ — каждая нить держит весь вес. Проверь: при $\alpha\to90^\circ$ $T\to\infty$ — нить не может быть горизонтальной под грузом ✓.

Приём: всегда проецируй на две оси и помни, что $\sum F_x=0$ и $\sum F_y=0$ — два уравнения, а неизвестных не больше двух.

5. Задачи «найди ошибку» — потренируй глаз

Задача А. «Пружину $k=400$ Н/м растянули на 20 см. Сила $F=kx=400\cdot20=8000$ Н».

Ошибка: 20 см не переведены в метры. Правильно: $F=400\cdot0{,}2=80$ Н.

Задача Б. «Груз 5 кг висит на пружине, растяжение 10 см. $k=F/x=5/0{,}1=50$ Н/м».

Ошибка: в числителе сила, а подставлена масса. Правильно: $F=mg=49$ Н, $k=49/0{,}1=490$ Н/м.

Задача В. «Две пружины $k_1=200$, $k_2=300$ Н/м соединены последовательно, значит $k=500$ Н/м».

Ошибка: при последовательном соединении складываются податливости: $k=\dfrac{200\cdot300}{500}=120$ Н/м.

6. Численные задачи для самостоятельного решения (с ответами)

1. Пружина $k=150$ Н/м растянута до $x=8$ см. Сила? → $F=150\cdot0{,}08=\mathbf{12\ Н}$.
2. Сила $24$ Н растягивает пружину на $6$ см. Жёсткость? → $k=24/0{,}06=\mathbf{400\ Н/м}$.
3. Пружина $k=800$ Н/м, груз $m=4$ кг. Удлинение при покое? → $x=\dfrac{4\cdot9{,}8}{800}\approx\mathbf{0{,}049\ м\approx4{,}9\ см}$.
4. Энергия пружины $k=300$ Н/м при $x=10$ см? → $E_p=\dfrac{300\cdot0{,}01}{2}=\mathbf{1{,}5\ Дж}$.
5. Две пружины $k_1=100$, $k_2=100$ Н/м параллельно, затем последовательно. → параллельно $\mathbf{200\ Н/м}$, последовательно $\mathbf{50\ Н/м}$.
6. Груз на пружине $k=250$ Н/м в лифте, ускорение $3$ м/с² вверх, $m=2$ кг. → $x=\dfrac{2(9{,}8+3)}{250}\approx\mathbf{0{,}102\ м\approx10{,}2\ см}$.

7. Лабораторная работа: измерение жёсткости пружины

Оборудование: штатив, пружина, набор грузов, линейка, динамометр.

Ход:

1. Измерь начальную длину $l_0$.
2. Подвешивай грузы $m=0{,}1; 0{,}2; 0{,}3$ кг, каждый раз измеряй $l$.
3. Считай $x=l-l_0$ и $F=mg$.
4. Построй график $F(x)$ — должна получиться прямая.
5. $k=\dfrac{\Delta F}{\Delta x}$ (наклон прямой!).

Что проверить: точки должны ложиться на прямую; если «уходит» вверх — превышен предел пропорциональности или пружина уже была растянута (тогда $l_0$ измерена неверно).

Формула погрешности: $\varepsilon_k=\varepsilon_F+\varepsilon_x$ (относительные погрешности складываются при делении).

8. Сравнительная таблица: где какая формула работает

Ситуация	Формула	Ограничение
Пружина, малая деформация	$F=kx$	до предела пропорциональности
Стержень, инженерный расчёт	$\sigma=E\varepsilon$	одноосное растяжение/сжатие
Две пружины, одна сила	$\frac1k=\frac1{k_1}+\frac1{k_2}$	соединены последовательно
Две пружины, одно удлинение	$k=k_1+k_2$	параллельно
Энергия упругой деформации	$E_p=kx^2/2$	упругая область
Натяжение нити с грузом под углом	$T=\dfrac{mg}{2\cos\alpha}$	симметричная подвеска

9. Что спрашивают на контрольных и экзаменах

Вопрос-ловушка: «Действует ли сила упругости на тело, которое висит на нити и покоится?» Ответ: да — нить действует на тело силой натяжения, а тело на нить — своим весом; обе силы упругие по природе.

Вопрос-ловушка: «Может ли сила упругости быть больше силы тяжести?» Ответ: да — при перегрузке (лифт вверх с ускорением) $N=m(g+a)>mg$.

Вопрос-ловушка: «Почему при последовательном соединении пружин общая жёсткость меньше каждой?» Ответ: каждая пружина растягивается своей частью общей силы, суммарное удлинение больше — значит система «мягче».

Расчётная «на 3 балла»: пружина под грузом, найти $x$ или $k$ — алгоритм из п. 11 прошлого сообщения.

Расчётная «на 5 баллов»: два тела + пружина + ускорение, или лифт с ускорением, или энергия + работа.

10. Мини-тест (проверь себя)

1. В чём измеряется жёсткость? → Н/м.
2. Что означает знак минус в $\vec F=-k\Delta\vec l$? → сила противоположна смещению.
3. Зависит ли $k$ от силы натяжения? → Нет, только от материала и размеров.
4. Как изменится $k$, если пружину разрезать пополам? → Увеличится вдвое (каждая половина жёстче: $k'=ES/(l_0/2)=2k$). Отличная задача-сюрприз!
5. Куда направлена сила упругости опоры? → Перпендикулярно поверхности опоры, от неё.
6. Чему равна энергия пружины при двойном удлинении? → в 4 раза больше ($E_p\propto x^2$).
7. При каком условии наступает невесомость? → когда $\vec N=0$ (свободное падение).

Если пункт 4 удивил — это нормально, его часто дают как «задачу со звёздочкой». Хочешь, разберём отдельно тему «разрезанная пружина» или потренируем задачи с двумя телами и блоками?

Сила упругости: подробное изложение темы

1. Определение

Сила упругости — сила, возникающая внутри деформированного тела и направленная противоположно смещению его частиц, то есть стремящаяся вернуть телу исходные форму и объём.

Если строже: сила упругости — это сила, с которой деформированное тело действует на тело, вызвавшее деформацию, или на его отдельные части.

Из определения сразу следуют три важных вывода:

1. Причина появления силы — деформация. Нет деформации — нет силы упругости. И наоборот: если на тело действует сила упругой природы, значит, что-то деформировано (пружина, нить, опора, само тело).
2. Направление — всегда против смещения частиц: растянули вправо — сила тянет влево, сжали — выталкивает наружу.
3. Точка приложения — к тому телу, которое деформирует. Тянешь пружину рукой — сила упругости действует на руку. Подвешен груз — пружина действует на груз.

2. Электромагнитная природа силы упругости

Внутри любого твёрдого тела атомы расположены на равновесных расстояниях $r_0$ (у кристаллов — порядка $10^{-10}$ м). Между ними действуют две силы:

• сила притяжения (обусловлена взаимодействием электронов и ядер; медленно убывает с расстоянием);
• сила отталкивания (обусловлена отталкиванием электронных оболочек при сближении; резко растёт при уменьшении расстояния).

В положении равновесия эти силы равны по модулю. Если расстояние между атомами изменить:

Расстояние	Преобладает	Поведение тела
$r < r_0$	отталкивание	тело сжато — сопротивляется сжатию
$r = r_0$	силы равны	тело не деформировано, силы нет
$r > r_0$	притяжение	тело растянуто — сопротивляется растяжению

Поскольку все силы сводятся к электромагнитному взаимодействию заряженных частиц, сила упругости имеет электромагнитную природу. Она не гравитационная и не ядерная.

Отсюда становится понятным главный принцип: любая деформация выводит атомы из положения равновесия, и они «возвращают» тело обратно. Именно поэтому сила упругости направлена против деформации — это не математическое соглашение, а следствие физики взаимодействия атомов.

3. Виды деформаций

Деформация — изменение формы или размеров тела под действием внешних сил.

3.1. Простые виды

Вид деформации	Что происходит	Примеры из жизни и техники
Растяжение	длина увеличивается	трос подъёмного крана, струна, сухожилие
Сжатие	длина уменьшается	колонна здания, ножки стула, фундамент
Сдвиг	слои тела смещаются параллельно друг другу	заклёпка в листе металла, шпонка, ножницы
Изгиб	сочетание растяжения и сжатия разных слоёв	балка моста, линейка на двух опорах, ветка
Кручение	сечения поворачиваются вокруг оси	вал двигателя, отвёртка, сверло

Деформацию изгиба и кручения называют сложными: они сводятся к комбинации растяжения, сжатия и сдвига в разных точках тела.

3.2. Упругая и пластическая

• Упругая деформация — полностью исчезает после снятия нагрузки. Тело восстанавливает форму и размеры. Пружина, резинка, стальная линейка.
• Пластическая деформация — после снятия нагрузки остаётся остаточное изменение размеров. Согнутая скрепка, пластилин, кузнечная ковка.

Закон Гука описывает только упругую деформацию и только при малых её значениях. Пластическая деформация — предмет отдельного раздела (сопротивление материалов, пластичность металлов).

4. Закон Гука

4.1. Формулировка

Закон Гука: сила упругости, возникающая при деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации и направлена противоположно смещению.

4.2. Скалярная и векторная записи

Скалярная (удобна для расчётов):

$$F_{\text{упр}} = k,|\Delta l| = k,x$$

Векторная (показывает направление):

$$\vec F_{\text{упр}} = -k,\Delta\vec l$$

Здесь:

Величина	Обозначение	Единица СИ	Смысл
Сила упругости	$F_{\text{упр}}$	Н (ньютон)	что ищем чаще всего
Жёсткость	$k$	Н/м	характеристика пружины/стержня
Удлинение	$\Delta l = x$	м	изменение длины, не длина!

Знак «минус» в векторной записи означает: вектор силы противоположен вектору удлинения.

4.3. Три формулы на все случаи

$$F = kx \qquad k = \frac{F}{x} \qquad x = \frac{F}{k}$$

В любой задаче известны два из трёх — третий находится по одной из этих формул.

4.4. График

Зависимость $F(x)$ — прямая линия, проходящая через начало координат. Её угловой коэффициент численно равен жёсткости: чем круче прямая, тем жёстче пружина. Для двух пружин на одном графике: более крутая соответствует большему $k$.

5. Жёсткость и её зависимость от геометрии

5.1. Формула для стержня

Для стержня постоянного сечения:

$$\boxed{k = \frac{E,S}{l_0}}$$

• $E$ — модуль Юнга (модуль упругости), характеристика материала, в Па;
• $S$ — площадь поперечного сечения, м²;
• $l_0$ — начальная длина, м.

Материал	Модуль Юнга $E$, Па
Сталь	$\approx 2\cdot10^{11}$
Железо	$\approx 2\cdot10^{11}$
Медь	$\approx 1{,}1\cdot10^{11}$
Алюминий	$\approx 7\cdot10^{10}$
Стекло	$\approx 6\cdot10^{10}$
Дерево (сосна)	$\approx 10^{10}$
Резина	$\approx 10^{6}\div10^{7}$

5.2. Как жёсткость зависит от параметров

Изменяем	Жёсткость	Объяснение
Толщина увеличивается ($S\uparrow$)	растёт	больше «поперечных связей» держат тело
Длина увеличивается ($l_0\uparrow$)	падает	на каждый участок приходится меньшая деформация
Материал более упругий ($E\uparrow$)	растёт	сильнее межмолекулярные связи
Приложенная сила меняется	не меняется	это характеристика тела, а не силы

Последняя строка — источник частых ошибочных ответов. Жёсткость постоянна (пока тело не деформировано пластически) — она определяется материалом и геометрией, а не тем, кто и с какой силой тянет.

5.3. Пружинный маятник: связь с периодом колебаний

Период колебаний груза на пружине — ещё одна форма применения жёсткости:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},\qquad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

Чем жёстче пружина, тем быстрее колебания; чем тяжелее груз, тем медленнее.

6. Соединение пружин

6.1. Параллельное соединение

Пружины испытывают одинаковое удлинение $x$, их силы складываются:

$$F = F_1 + F_2 \Rightarrow kx = k_1x + k_2x \Rightarrow \boxed{k = k_1 + k_2}$$

Система жёстче каждой пружины.

6.2. Последовательное соединение

Пружины испытывают одинаковую силу $F$, удлинения складываются:

$$x = x_1 + x_2 \Rightarrow \frac{F}{k} = \frac{F}{k_1} + \frac{F}{k_2} \Rightarrow \boxed{\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}}$$

или

$$k = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$$

Система мягче каждой пружины.

Проверка на числах: $k_1 = 300$ Н/м, $k_2 = 600$ Н/м.

• параллельно: $300 + 600 = 900$ Н/м — больше обеих ✓;
• последовательно: $\frac{300\cdot600}{900} = 200$ Н/м — меньше обеих ✓.

Частный случай: две одинаковые пружины $k_0$. Параллельно — $2k_0$, последовательно — $\frac{k_0}{2}$.

6.3. Интересный факт: разрезанная пружина

Если пружину разрезать пополам, каждая половина будет жёстче вдвое. Причина: длина уменьшилась в 2 раза, а $k$ обратно пропорциональна длине:

$$k' = \frac{ES}{l_0/2} = 2k$$

Поэтому из длинной мягкой пружины можно сделать две короткие жёсткие.

7. Инженерная форма закона Гука

Для стержня удобнее работать не с силой и удлинением, а с напряжением и относительным удлинением.

Механическое напряжение — сила, приходящаяся на единицу площади сечения:

$$\sigma = \frac{F}{S},\qquad [\sigma] = \text{Па}$$

Относительное удлинение — безразмерная величина:

$$\varepsilon = \frac{|\Delta l|}{l_0}$$

Закон Гука в инженерной форме:

$$\boxed{\sigma = E,\varepsilon}$$

Из неё выводятся все предыдущие формулы:

$$\frac{F}{S} = E\frac{\Delta l}{l_0} \Rightarrow F = \underbrace{\frac{ES}{l_0}}_{k}\Delta l = kx$$

8. Границы применимости: диаграмма растяжения

Если постепенно растягивать образец и строить график $\sigma(\varepsilon)$, получится диаграмма растяжения с несколькими характерными участками:

Участок	Название	Что происходит	Применимость закона Гука
$OA$	предел пропорциональности $\sigma_{\text{пц}}$	прямая — напряжение пропорционально деформации	закон Гука верен
$AB$	предел упругости $\sigma_{\text{упр}}$	ещё упруго, но прямая искривилась	приблизительно
$BC$	предел текучести $\sigma_{\text{т}}$	материал «течёт»: деформация растёт без роста нагрузки	не верен
$CD$	упрочнение	материал снова сопротивляется	не верен
точка $D$	предел прочности $\sigma_{\text{пч}}$	образец разрушается	—

Для металлов $\sigma_{\text{пц}}$ и $\sigma_{\text{упр}}$ близки. Для резины диаграмма сильно нелинейна уже при малых нагрузках — закон Гука применим только к очень малым деформациям.

Вывод для задач: формулу $F = kx$ можно использовать, пока деформация мала. В школьных задачах это условие всегда подразумевается.

9. Силы упругой природы вокруг нас

Многие привычные силы имеют ту же природу, что и сила упругости пружины, просто их называют по-другому:

Сила	Обозначение	К чему приложена	Когда возникает
Сила нормальной реакции опоры	$\vec N$	к телу	тело давит на опору
Сила натяжения нити	$\vec T$	к телу	нить растянута
Сила давления на опору (вес)	$\vec P$	к опоре или подвесу	тело давит на опору
Сила упругости пружины	$\vec F_{\text{упр}}$	к деформирующему телу	пружина растянута/сжата

9.1. Вес и сила тяжести — не одно и то же

• Сила тяжести $\vec F_{\text{тяж}} = m\vec g$ — гравитационная, приложена к телу, действует со стороны Земли.
• Вес тела $\vec P$ — упругой природы, приложен к опоре или подвесу, действует со стороны тела.

В состоянии покоя или равномерного движения $P = mg$ по модулю. Но при ускоренном движении это уже не так.

9.2. Вес в лифте: перегрузки и невесомость

Пусть лифт движется с ускорением $a$, ось направлена вверх. Второй закон Ньютона для тела:

$$N - mg = ma \Rightarrow N = m(g + a)$$

Вес по модулю равен $N$ (по III закону Ньютона):

$$P = m(g + a)$$

Ситуация	Ускорение $a$	Вес $P$	Состояние
Покой	$0$	$mg$	нормальный вес
Разгон вверх / торможение вниз	$+2$ м/с²	$m(g+2)$	перегрузка
Разгон вниз / торможение вверх	$-2$ м/с²	$m(g-2)$	уменьшенный вес
Свободное падение	$g$ вниз	$0$	невесомость

Невесомость — состояние, при котором сила реакции опоры (и сила натяжения подвеса) равна нулю. При этом сила тяжести никуда не исчезает: тело продолжает притягиваться к Земле, но опора не давит на него.

9.3. Наклонная плоскость

Тело на наклонной плоскости под углом $\alpha$. Силы упругой природы:

$$N = mg\cos\alpha,\qquad F_{\text{тр}} = \mu N = \mu mg\cos\alpha$$

При $\alpha = 30^\circ$: $N \approx 0{,}87,mg$ — меньше веса. Поэтому на наклонной поверхности «давит» слабее.

10. Энергия и работа упругой деформации

10.1. Вывод формулы

При растяжении от $0$ до $x$ сила упругости растёт линейно. Работа переменной силы — площадь под графиком $F(x)$, то есть площадь треугольника:

$$A = \frac{1}{2}F_{\max}\cdot x = \frac{1}{2}(kx)\cdot x = \frac{kx^2}{2}$$

10.2. Потенциальная энергия

$$\boxed{E_p = \frac{kx^2}{2}}$$

Единица — джоуль (Дж): $\text{Н/м}\cdot\text{м}^2 = \text{Н}\cdot\text{м} = \text{Дж}$.

10.3. Знак работы

• При растяжении пружины внешней силой сила упругости направлена против движения → её работа отрицательна: $A_{\text{упр}} = -\frac{kx^2}{2}$.
• При обратном сжатии до нуля сила упругости сонаправлена движению → её работа положительна: $A_{\text{упр}} = +\frac{kx^2}{2}$.

Именно так стреляет рогатка, срабатывает пружинный замок, движется часовой механизм.

10.4. Закон сохранения энергии для пружины

При колебаниях груза на пружине энергия переходит из потенциальной $E_p = \frac{kx^2}{2}$ в кинетическую $E_k = \frac{mv^2}{2}$ и обратно, а полная энергия сохраняется (если нет трения):

$$\frac{kx_{\max}^2}{2} = \frac{mv_{\max}^2}{2} = E_{\text{полн}}$$

Отсюда, например, можно найти максимальную скорость:

$$v_{\max} = x_{\max}\sqrt{\frac{k}{m}}$$

10.5. Упругий удар как пример

При ударе мяча о стену его кинетическая энергия на мгновение переходит в энергию упругой деформации, затем возвращается. Это и есть причина отскока. При неупругом ударе часть энергии уходит в тепло и остаточную (пластическую) деформацию.

11. Сила упругости и законы Ньютона

11.1. Связь с III законом

Сила упругости — всегда парная. Пример: пружина тянет руку — рука тянет пружину. Обе силы равны по модулю и противоположны по направлению, но приложены к разным телам. Это III закон Ньютона.

11.2. Применение II закона

Основная схема решения: $\sum \vec F = m\vec a$, куда входят силы упругой природы (натяжение, реакция опоры) и гравитационная сила тяжести.

Пример на числах. Груз $m = 2$ кг на пружине $k = 500$ Н/м в лифте, ускорение $a = 3$ м/с² вверх.

$$kx - mg = ma \Rightarrow x = \frac{m(g+a)}{k} = \frac{2\cdot12{,}8}{500} = 0{,}0512\ \text{м} \approx 5{,}1\ \text{см}$$

Если лифт разгоняется вниз: $x = \frac{m(g-a)}{k} = \frac{2\cdot6{,}8}{500} \approx 2{,}7$ см.

Проверка: при $a \to g$ вниз получаем $x \to 0$ — невесомость ✓.

12. Метод решения задач

1. Рисунок. Изобразить тело, пружину/нит/опору, все силы стрелками, оси координат.
2. Кто деформирован? Определить, к какому именно телу приложена сила упругости.
3. СИ. Перевести: см → м (делить на 100), мм² → м² (делить на $10^6$), г → кг (делить на 1000).
4. Записать уравнения. Равновесие: $\sum \vec F = 0$. Движение: $\sum \vec F = m\vec a$. Проецировать на оси.
5. Подставить $F = kx$ (или $x = F/k$, или $k = F/x$).
6. Проверить. Размерность, порядок величины, знак направления, согласованность ответов между пунктами.

13. Разобранные задачи

Задача 1. Простая

Пружину жёсткостью $k = 200$ Н/м растянули на $\Delta l = 5$ см. Найти силу упругости.

$$x = 0{,}05\ \text{м},\qquad F = kx = 200 \cdot 0{,}05 = 10\ \text{Н}$$

Проверка: $\text{Н/м}\cdot\text{м} = \text{Н}$ ✓.

Задача 2. На жёсткость

Под действием силы $F = 6$ Н пружина удлинилась на $3$ см. Найти $k$.

$$k = \frac{F}{x} = \frac{6}{0{,}03} = 200\ \text{Н/м}$$

Это та же пружина, что в задаче 1 — ответы согласуются ✓.

Задача 3. Груз на пружине

Груз $m = 2$ кг висит на пружине $k = 500$ Н/м. Найти удлинение.

При равновесии сила упругости уравновешивает силу тяжести:

$$kx = mg \Rightarrow x = \frac{mg}{k} = \frac{2\cdot9{,}8}{500} = \frac{19{,}6}{500} = 0{,}0392\ \text{м} \approx 3{,}9\ \text{см}$$

Оценка: жёсткость небольшая, растяжение в сантиметрах — правдоподобно ✓.

Задача 4. Два тела на гладком столе

Бруски $m_1 = 2$ кг и $m_2 = 3$ кг соединены пружиной $k = 100$ Н/м. К первому приложена сила $F = 10$ Н вдоль пружины. Найти удлинение.

Идея: пружина — единственная связь между телами, значит она действует на оба бруска с одинаковой по модулю силой.

Ускорение системы:

$$a = \frac{F}{m_1 + m_2} = \frac{10}{5} = 2\ \text{м/с}^2$$

Второй брусок движется только под действием силы упругости:

$$F_{\text{упр}} = m_2a = 3\cdot2 = 6\ \text{Н} \Rightarrow x = \frac{6}{100} = 0{,}06\ \text{м} = 6\ \text{см}$$

Проверка через первый брусок: $F - F_{\text{упр}} = m_1a \Rightarrow 10 - 6 = 2\cdot2$ ✓.

Типичная ошибка: писать $kx = F = 10$ Н. Тогда $x = 10$ см — неверно, потому что часть силы идёт на разгон первого бруска.

Задача 5. Две пружины последовательно

$k_1 = 100$ Н/м, $k_2 = 150$ Н/м, груз $m = 0{,}6$ кг. Найти общее удлинение.

$$k = \frac{k_1k_2}{k_1+k_2} = \frac{100\cdot150}{250} = 60\ \text{Н/м}$$

$$x = \frac{mg}{k} = \frac{0{,}6\cdot9{,}8}{60} = 0{,}098\ \text{м} \approx 9{,}8\ \text{см}$$

Проверка: по отдельности $x_1 = \frac{5{,}88}{100} = 5{,}88$ см, $x_2 = \frac{5{,}88}{150} = 3{,}92$ см; сумма $= 9{,}8$ см ✓ (сила в обеих пружинах одинакова).

Задача 6. Энергия пружины

Пружина $k = 200$ Н/м растянута на $x = 5$ см. Найти энергию.

$$E_p = \frac{kx^2}{2} = \frac{200\cdot(0{,}05)^2}{2} = \frac{200\cdot0{,}0025}{2} = 0{,}25\ \text{Дж}$$

Проверка: $\text{Н/м}\cdot\text{м}^2 = \text{Н}\cdot\text{м} = \text{Дж}$ ✓.

Задача 7. Жёсткость из характеристик материала

Стальная проволока длиной $l_0 = 1$ м, сечением $S = 1$ мм² $= 10^{-6}$ м². $E = 2\cdot10^{11}$ Па.

$$k = \frac{ES}{l_0} = \frac{2\cdot10^{11}\cdot10^{-6}}{1} = 2\cdot10^{5}\ \text{Н/м} = 200\ \text{кН/м}$$

Смысл: чтобы удлинить проволоку на 1 мм, нужна сила $F = kx = 200$ Н — примерно вес ведра воды. Правдоподобно ✓.

Задача 8. Тело на нитях

Груз подвешен на двух нитях, образующих угол $2\alpha$ (каждая — $\alpha$ с вертикалью). Найти натяжение.

Условие равновесия по вертикали: $2T\cos\alpha = mg$, откуда

$$T = \frac{mg}{2\cos\alpha}$$

При $\alpha = 60^\circ$: $T = \frac{mg}{2\cdot0{,}5} = mg$ — каждая нить держит полный вес. При $\alpha \to 90^\circ$: $T \to \infty$ — горизонтальные нити не удержат груз ✓.

14. Типичные ошибки

1. Путают удлинение и длину. Правильно: $x = l - l_0$. Если сказано «длина пружины 20 см, начальная 15 см», то $x = 5$ см, а не 20.
2. Не переводят единицы. 20 см вместо 0,2 м даёт ответ в 100 раз больше.
3. Пишут $x = mg$. Это сила, а не длина. Нужен делитель: $x = mg/k$.
4. Считают, что $k$ зависит от силы. Жёсткость — характеристика тела, а не нагрузки.
5. Путают вес и силу упругости. Вес приложен к опоре, сила упругости — к телу.
6. Применяют $F = kx$ за пределом пропорциональности (пластическая деформация).
7. В последовательном соединении складывают жёсткости. Там складываются податливости $1/k$, поэтому $k$ системы меньше каждой пружины.
8. Забывают ускорение в лифте. Если лифт движется с ускорением, $kx \ne mg$, а $kx = m(g \pm a)$.
9. Неправильно направляют силу. Сила упругости всегда против смещения; на рисунке это должно быть видно.
10. Путают силу реакции опоры и силу давления. $\vec N$ приложена к телу, давление тела на опору — к опоре. Это пара сил по III закону Ньютона, они не «уравновешивают» друг друга.

15. Лабораторная работа: измерение жёсткости пружины

Оборудование: штатив с лапкой, пружина, набор грузов по 100 г, линейка, динамометр.

Ход работы:

1. Измерить начальную длину пружины без нагрузки $l_0$.
2. Подвесить груз $m = 0{,}1$ кг, измерить $l_1$, вычислить $x_1 = l_1 - l_0$ и $F_1 = m_1g$.
3. Повторить для $m = 0{,}2; 0{,}3; 0{,}4$ кг.
4. Построить график $F(x)$ — должна получиться прямая через начало координат.
5. Вычислить жёсткость как наклон прямой:

$$k = \frac{\Delta F}{\Delta x} = \frac{F_2 - F_1}{x_2 - x_1}$$

Что проверить:

• точки ложатся на прямую — закон Гука выполняется;
• если график «уходит» вверх — превышен предел пропорциональности или использован неверный $l_0$;
• относительная погрешность:

$$\varepsilon_k = \varepsilon_F + \varepsilon_x,\qquad \varepsilon_x = \frac{\Delta x}{x}$$

16. Итоговая таблица темы

Понятие	Формула	Единица
Закон Гука (скалярно)	$F = kx$	Н
Закон Гука (векторно)	$\vec F = -k\Delta\vec l$	Н
Жёсткость через материал	$k = ES/l_0$	Н/м
Напряжение	$\sigma = F/S$	Па
Закон Гука (инженерно)	$\sigma = E\varepsilon$	—
Соединение параллельно	$k = k_1 + k_2$	Н/м
Соединение последовательно	$1/k = 1/k_1 + 1/k_2$	Н/м
Потенциальная энергия	$E_p = kx^2/2$	Дж
Работа силы упругости	$A = \pm kx^2/2$	Дж
Период пружинного маятника	$T = 2\pi\sqrt{m/k}$	с
Вес в лифте	$P = m(g \pm a)$	Н

17. Главное, что стоит запомнить

• Сила упругости возникает из-за деформации и направлена против смещения. Её природа — электромагнитная.
• Закон Гука $F = kx$ справедлив для малых упругих деформаций.
• Жёсткость зависит только от материала и геометрии ($k = ES/l_0$), а не от силы.
• Параллельное соединение жёстче, последовательное мягче.
• Силы реакции опоры, натяжения нити и вес — тоже упругой природы, но приложены к разным телам.
• Энергия упругой деформации $E_p = kx^2/2$ — важный инструмент в задачах на сохранение энергии.
• В любой задаче сначала рисунок и анализ сил, потом формула; в конце — проверка размерности и правдоподобности ответа.