Дай ответы с решением
Краткие ответы
\[ 1)\ 1;\qquad 2)\ -\frac{33}{5}=-6{,}6;\qquad 3)\ 16;\qquad 4)\ -\frac14=-0{,}25;\qquad 5)\ 3. \]
Решение
1. Значение выражения
\[ \frac{2\cos(\pi-\beta)-\sin\left(-\frac{\pi}{2}+\beta\right)}{\cos(\beta-\pi)} \]
Используем формулы приведения:
\[ \cos(\pi-\beta)=-\cos\beta \]
\[ \sin\left(-\frac{\pi}{2}+\beta\right)=\sin\left(\beta-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos\beta \]
\[ \cos(\beta-\pi)=-\cos\beta \]
Подставляем:
\[ \frac{-2\cos\beta-(-\cos\beta)}{-\cos\beta} = \frac{-\cos\beta}{-\cos\beta}=1 \]
Ответ: \(1\).
2. Найти \(11\sin\left(\frac{5\pi}{2}+\alpha\right)\)
\[ \frac{5\pi}{2}=2\pi+\frac{\pi}{2} \]
Поэтому
\[ \sin\left(\frac{5\pi}{2}+\alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) = \cos\alpha \]
Значит, нужно найти \(11\cos\alpha\).
Дано:
\[ \sin\alpha=-0{,}8=-\frac45 \]
Угол \(\alpha\in\left(\pi;\frac{3\pi}{2}\right)\) — III четверть, поэтому \(\cos\alpha<0\).
\[ \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha = 1-0{,}64=0{,}36 \]
\[ \cos\alpha=-0{,}6=-\frac35 \]
Тогда
\[ 11\cos\alpha=11\cdot\left(-\frac35\right)=-\frac{33}{5}=-6{,}6 \]
Ответ: \(-6{,}6\).
3. Найти \(20\cos\left(\frac{7\pi}{2}-\alpha\right)\)
\[ \frac{7\pi}{2}=2\pi+\frac{3\pi}{2} \]
\[ \cos\left(\frac{7\pi}{2}-\alpha\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) = -\sin\alpha \]
Значит,
\[ 20\cos\left(\frac{7\pi}{2}-\alpha\right) = -20\sin\alpha \]
Дано:
\[ \cos\alpha=\frac35,\qquad \alpha\in\left(\frac{3\pi}{2};2\pi\right) \]
Это IV четверть, поэтому \(\sin\alpha<0\).
\[ \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha = 1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25} \]
\[ \sin\alpha=-\frac45 \]
Тогда
\[ -20\sin\alpha=-20\cdot\left(-\frac45\right)=16 \]
Ответ: \(16\).
4. Найти \(\operatorname{tg}\left(\alpha-\frac{5\pi}{2}\right)\)
Период тангенса равен \(\pi\), поэтому
\[ \frac{5\pi}{2}=2\pi+\frac{\pi}{2} \]
\[ \operatorname{tg}\left(\alpha-\frac{5\pi}{2}\right) = \operatorname{tg}\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right) \]
Используем формулу:
\[ \operatorname{tg}\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right) = -\operatorname{ctg}\alpha = -\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} \]
При \(\operatorname{tg}\alpha=4\):
\[ -\frac{1}{4}=-0{,}25 \]
Ответ: \(-0{,}25\).
5. Значение выражения
\[ 3\cos(\pi+\beta)+2\sin\left(-\frac{\pi}{2}+\beta\right) \]
Формулы приведения:
\[ \cos(\pi+\beta)=-\cos\beta \]
\[ \sin\left(-\frac{\pi}{2}+\beta\right) = \sin\left(\beta-\frac{\pi}{2}\right) = -\cos\beta \]
Подставляем:
\[ 3(-\cos\beta)+2(-\cos\beta) = -3\cos\beta-2\cos\beta = -5\cos\beta \]
Дано:
\[ \cos\beta=-\frac35 \]
\[ -5\cdot\left(-\frac35\right)=3 \]
Ответ: \(3\).
Что важно запомнить
- Сначала упрощаем выражение с помощью формул приведения.
- Затем подставляем известные значения.
- Если известны \(\sin\alpha\) или \(\cos\alpha\), второй значение находим по формуле
\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1. \] - Знак выбираем по четверти, в которой находится угол.
