реши и объясни
Краткие ответы:
| Пункт | Ответ |
|---|---|
| а | \(x\in(-8;\,6)\) |
| б | \(x\in(-\infty;\,\frac32)\cup(2;\,+\infty)\) |
| в | \(x\in(-\infty;\,-3)\cup(5;\,+\infty)\) |
| г | \(x\in\left(1;\,\frac65\right)\) |
| д | \(x\in(-\infty;\,\frac32)\cup\left(\frac32;\,+\infty\right)\), то есть \(x\ne \frac32\) |
| е | решений нет, \(x\in\varnothing\) |
| ж | \(x\in\left(0;\,\frac9{10}\right)\) |
| з | \(x\in(-\infty;\,0)\cup\left(\frac72;\,+\infty\right)\) |
Как рассуждать
Квадратное выражение можно записать так:
\[ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2), \]
где \(x_1\) и \(x_2\) — корни.
- Если \(a>0\), то выражение положительно вне корней и отрицательно между корнями.
- Если \(a<0\), знаки наоборот.
- При строгом неравенстве \(<0\) или \(>0\) сами корни не включаются.
- Если дискриминант равен нулю, получается квадрат: \(a(x-x_0)^2\). Его знак не меняется, а в точке \(x_0\) выражение равно нулю.
Решение по пунктам
а) \(x^2+2x-48<0\)
\[ D=2^2-4\cdot1\cdot(-48)=196, \]
корни:
\[ x_{1,2}=\frac{-2\pm14}{2}=-8;\ 6. \]
Парабола ветвями вверх, отрицательна между корнями:
\[ -8<x<6. \]
б) \(2x^2-7x+6>0\)
\[ 2x^2-7x+6=(2x-3)(x-2). \]
Корни: \(\frac32\) и \(2\). Ветви вверх, знак «плюс» вне корней:
\[ x<\frac32 \quad \text{или}\quad x>2. \]
в) \(-x^2+2x+15<0\)
Умножим на \(-1\), знак неравенства меняется:
\[ x^2-2x-15>0, \]
\[ (x-5)(x+3)>0. \]
Корни: \(-3\) и \(5\). Положительно вне корней:
\[ x<-3 \quad \text{или}\quad x>5. \]
г) \(-5x^2+11x-6>0\)
Умножим на \(-1\):
\[ 5x^2-11x+6<0, \]
\[ (5x-6)(x-1)<0. \]
Корни: \(1\) и \(\frac65\). Отрицательно между корнями:
\[ 1<x<\frac65. \]
д) \(4x^2-12x+9>0\)
\[ 4x^2-12x+9=(2x-3)^2. \]
Квадрат больше нуля всегда, кроме случая, когда он равен нулю:
\[ 2x-3\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne\frac32. \]
е) \(25x^2+30x+9<0\)
\[ 25x^2+30x+9=(5x+3)^2. \]
Квадрат не может быть отрицательным, поэтому решений нет:
\[ x\in\varnothing. \]
ж) \(-10x^2+9x>0\)
\[ x(9-10x)>0. \]
Корни: \(0\) и \(\frac9{10}\). Старший коэффициент отрицательный, поэтому «плюс» между корнями:
\[ 0<x<\frac9{10}. \]
з) \(-2x^2+7x<0\)
\[ x(7-2x)<0. \]
Корни: \(0\) и \(\frac72\). Старший коэффициент отрицательный, «минус» вне корней:
\[ x<0 \quad \text{или}\quad x>\frac72. \]
Быстрая проверка
- В пункте а при \(x=0\): \(-48<0\) — верно.
- В пункте г при \(x=1{,}1\): \(-5\cdot1{,}21+11\cdot1{,}1-6=0{,}05>0\) — верно.
- В пункте д при \(x=1{,}5\) выражение равно \(0\), поэтому точка \(1{,}5\) не включается.
- В пункте е левая часть — квадрат, значит, она не может быть меньше нуля.
