номер 2.124

Краткий ответ: а) \(31:9 = 3\frac{4}{9}\); б) \(81:9 = 9\) (формально можно записать \(9\frac{0}{9}\), но обычно пишут просто \(9\)); в) \(402:15 = 26\frac{4}{5}\); г) \(1429:14 = 102\frac{1}{14}\).

Как получается смешанное число

1. Записываем деление в виде дроби: \[ a:b=\frac{a}{b}. \]
2. Делим числитель на знаменатель с остатком: \[ a=b\cdot q+r,\quad 0\le r<b. \] Здесь \(q\) — целая часть, \(r\) — остаток.
3. Тогда \[ \frac{a}{b}=q\frac{r}{b}. \] То есть целая часть — неполное частное, числитель дробной части — остаток, а знаменатель остаётся прежним.
4. Дробную часть по возможности сокращаем.

Разбор примеров

• а) \(31=9\cdot 3+4\), поэтому \[ 31:9=\frac{31}{9}=3\frac{4}{9}. \]
• б) \(81=9\cdot 9+0\). Остаток равен нулю, значит, число целое: \[ 81:9=9. \]
• в) \(402=15\cdot 26+12\), значит, \[ 402:15=26\frac{12}{15}=26\frac{4}{5}. \] Дробь \(\frac{12}{15}\) сократили на \(3\).
• г) \(1429=14\cdot 102+1\), поэтому \[ 1429:14=102\frac{1}{14}. \]

Проверка

Смешанное число переводим обратно в дробь: \[ 3\frac{4}{9}=\frac{3\cdot 9+4}{9}=\frac{31}{9}; \] \[ 26\frac{4}{5}=\frac{26\cdot 5+4}{5}=\frac{134}{5}=\frac{402}{15}; \] \[ 102\frac{1}{14}=\frac{102\cdot 14+1}{14}=\frac{1429}{14}. \] Всё сходится.

Главное правило: остаток всегда меньше делителя, поэтому дробная часть получается правильной.