10-д-е-ж-з
Кратко (в действительных числах):
- д) \(x=\pm\sqrt{2}\)
- е) \(y=\pm\sqrt{2}\), \(y=\pm 2\)
- ж) действительных корней нет
- з) действительных корней нет
Принцип решения биквадратного уравнения
Уравнение содержит только чётные степени, поэтому делаем замену:
\[ x^2=u \quad \text{или} \quad y^2=u,\ t^2=u \]
При этом обязательно \(u\ge 0\), ведь квадрат действительного числа неотрицателен.
д)
\[
x^4-4x^2+4=0
\]
Пусть \(x^2=u\ge 0\):
\[ u^2-4u+4=0 \]
\[ (u-2)^2=0 \]
\[ u=2 \]
Возвращаемся:
\[ x^2=2 \]
\[ x=\pm\sqrt{2} \]
Ответ: \(x=\pm\sqrt{2}\).
е)
\[
y^4-6y^2+8=0
\]
Пусть \(y^2=u\ge 0\):
\[ u^2-6u+8=0 \]
\[ D=36-32=4 \]
\[ u=\frac{6\pm2}{2} \]
\[ u=2 \quad \text{или} \quad u=4 \]
Оба значения неотрицательны. Возвращаемся:
\[ y^2=2 \Rightarrow y=\pm\sqrt{2} \]
\[ y^2=4 \Rightarrow y=\pm2 \]
Ответ: \(y=\pm\sqrt{2},\ \pm2\).
ж)
\[
t^4+10t^2+25=0
\]
\[ t^4+10t^2+25=(t^2+5)^2 \]
То есть:
\[ (t^2+5)^2=0 \]
\[ t^2+5=0 \]
\[ t^2=-5 \]
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому действительных корней нет.
Ответ: действительных корней нет.
з)
\[
5y^4-5y^2+2=0
\]
Пусть \(y^2=u\ge 0\):
\[ 5u^2-5u+2=0 \]
\[ D=(-5)^2-4\cdot5\cdot2=25-40=-15 \]
Дискриминант отрицательный, значит, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: действительных корней нет.
Как действовать в похожем задании:
- Заменить \(x^2\) на \(u\).
- Решить квадратное уравнение относительно \(u\).
- Оставить только \(u\ge 0\).
- Вернуться к \(x^2=u\) и записать \(x=\pm\sqrt{u}\).
- Если \(u<0\) или дискриминант отрицательный — действительных корней нет.
