Реши номер 274 и поясни как это решать
Краткий ответ:
а) \(D(y)=[0;\,4]\)
б) \(D(y)=(-\infty;\,3)\cup(3;\,+\infty)\), то есть все числа, кроме \(x=3\).
Как решать
Область определения — это все значения \(x\), при которых выражение имеет смысл.
Под квадратным корнем должно стоять неотрицательное выражение: \[ \text{подкоренное выражение} \ge 0. \]
Если корень стоит в знаменателе, то подкоренное выражение должно быть строго больше нуля: \[ \text{подкоренное выражение} > 0, \] потому что на ноль делить нельзя.
а) \(y=\sqrt{12x-3x^2}\)
\[ 12x-3x^2\ge 0 \]
Вынесем общий множитель: \[ 3x(4-x)\ge 0 \]
Нули выражения: \(x=0\) и \(x=4\).
Парабола \(12x-3x^2\) ветвями вниз, поэтому неотрицательна между корнями:
\[ 0\le x\le 4 \]
Значит: \[ D(y)=[0;4] \]
На концах отрезка корень равен нулю, это допустимо.
б) \(y=\dfrac{1}{\sqrt{2x^2-12x+18}}\)
Здесь корень в знаменателе, поэтому: \[ 2x^2-12x+18>0 \]
Упростим: \[ 2(x^2-6x+9)>0 \] \[ 2(x-3)^2>0 \]
Квадрат \((x-3)^2\) положителен при всех \(x\), кроме \(x=3\).
При \(x=3\) знаменатель обращается в ноль, значит, это значение не подходит.
Следовательно: \[ D(y)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty) \]
Ответ:
а) \([0;4]\);
б) \((-\infty;3)\cup(3;+\infty)\).
Обсуждение
8 сообщенийКак в а получились нули функции откуда их взяли
Нули получились из уравнения: приравниваем выражение под корнем к нулю.
Для а) под корнем стоит: \[ 12x-3x^2 \]
Чтобы найти границы области определения, решаем: \[ 12x-3x^2=0 \]
Вынесем общий множитель \(3x\): \[ 3x(4-x)=0 \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ 3x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \] или \[ 4-x=0 \quad\Rightarrow\quad x=4 \]
Значит, границы — \(x=0\) и \(x=4\).
Потом проверяем знак выражения: \[ 12x-3x^2\ge 0 \] При \(x=1\): \[ 12\cdot 1-3\cdot1^2=12-3=9>0 \] то есть между \(0\) и \(4\) выражение положительно. Поэтому: \[ 0\le x\le 4 \]
Ответ: \[ D(y)=[0;4] \]
Коротко: нули — это решения уравнения \(12x-3x^2=0\), их нашли разложением на множители \(3x(4-x)=0\).
Откуда х1
\(x_1=0\) получается из первого множителя в уравнении:
\[ 3x(4-x)=0 \]
Произведение равно нулю, значит хотя бы один множитель равен нулю.
Берём первый множитель:
\[ 3x=0 \]
Делим обе части на \(3\):
\[ x=0 \]
Это и есть первый корень, его обозначают \(x_1=0\).
Второй корень — из второго множителя:
\[ 4-x=0 \]
\[ x=4 \]
То есть:
\[ x_1=0,\qquad x_2=4 \]
Обозначения \(x_1\) и \(x_2\) просто показывают, что это два разных корня уравнения.
Откуда при проверки мы взяли при х=1
\(x=1\) — это произвольно выбранная удобная точка для проверки знака, а не что-то обязательное.
После нахождения нулей \(0\) и \(4\) числовая прямая делится на промежутки:
\[ (-\infty;0),\quad (0;4),\quad (4;+\infty) \]
Чтобы понять, где выражение \(12x-3x^2\) положительно, проверяем по одной точке из каждого промежутка:
\(x=-1\): \[ 12(-1)-3(-1)^2=-12-3=-15<0 \]
\(x=1\) — удобная точка из промежутка \((0;4)\): \[ 12\cdot1-3\cdot1^2=12-3=9>0 \]
\(x=5\): \[ 12\cdot5-3\cdot5^2=60-75=-15<0 \]
Значит, выражение неотрицательно только при
\[ 0\le x\le 4 \]
То есть \(x=1\) взяли просто потому, что с ним легко считать. Можно было взять \(x=2\), \(x=3\) или \(x=0{,}5\) — знак на всём промежутке \((0;4)\) будет одинаковым.
Откуда в б минус бесконечность до 3
В б) после упрощения получили:
\[ 2(x-3)^2>0 \]
Разделим на \(2\):
\[ (x-3)^2>0 \]
Квадрат числа:
- равен \(0\), только если само число равно \(0\);
- во всех остальных случаях положителен.
Поэтому:
\[ (x-3)^2=0 \quad\Rightarrow\quad x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=3 \]
Значит, выражение равно нулю только при \(x=3\). А нам нужно, чтобы оно было больше нуля, поэтому \(x=3\) не подходит.
Все остальные \(x\) подходят: и меньшие \(3\), и большие \(3\).
Поэтому на числовой прямой получаем два промежутка:
- все числа меньше \(3\): \((-\infty;3)\);
- все числа больше \(3\): \((3;+\infty)\).
Объединяем их:
\[ (-\infty;3)\cup(3;+\infty) \]
Круглая скобка около \(3\) стоит потому, что \(x=3\) не входит: при нём знаменатель обращается в ноль. А \(-\infty\) и \(+\infty\) — не числа, поэтому скобки около них всегда круглые.
