Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Ответ: \(x_1=2,\quad x_2=3\).

Как рассуждать

Уравнение имеет вид

\[ x^2-5x+6=0. \]

Способ 1. Разложение на множители.
Ищем два числа, которые дают в произведении \(6\), а в сумме \(5\). Это \(2\) и \(3\):

\[ 2\cdot 3=6,\qquad 2+3=5. \]

Поэтому

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]

Получаем:

\[ (x-2)(x-3)=0. \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0, \]

откуда

\[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3. \]

Проверка

Подставим оба корня:

\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0, \]

\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]

Оба равенства верны.

Главный принцип

Для приведённого квадратного уравнения

\[ x^2+px+q=0 \]

корни \(x_1\) и \(x_2\) связаны с коэффициентами по теореме Виета:

\[ x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q. \]

В нашем случае:

\[ x_1+x_2=5,\qquad x_1x_2=6, \]

чему подходят числа \(2\) и \(3\).