Реши задание на изображении

По школьному определению: \[ \bar x=\frac{x_1+\dots+x_n}{n},\qquad D=\frac{(x_1-\bar x)^2+\dots+(x_n-\bar x)^2}{n}. \] То есть сначала находим, насколько каждое число отклоняется от среднего, затем возводим отклонения в квадрат и усредняем.

Краткий ответ

1. г) \(D=3{,}5\); д) \(D=6\); е) \(D=6{,}4\).
2. \(D_1=3{,}5\), \(D_2=6{,}5\). Больше дисперсия второго набора.
3. \(D_1=D_2=5\). Рассеивание одинаковое.
4. Средний рост всех учеников \(172{,}0\) см; дисперсия \(40{,}97\) см².

---

Подробное решение

1. г) Набор \(2,6,7,5\)

Среднее: \[ \bar x=\frac{2+6+7+5}{4}=5. \]

\(x_i\)	2	6	7	5
\(x_i-\bar x\)	\(-3\)	\(1\)	\(2\)	\(0\)
\((x_i-\bar x)^2\)	9	1	4	0

\[ D=\frac{9+1+4+0}{4}=\frac{14}{4}=3{,}5. \]

д) Набор \(-2,-1,1,2,5\)

\[ \bar x=\frac{-2-1+1+2+5}{5}=\frac55=1. \]

\(x_i\)	\(-2\)	\(-1\)	1	2	5
\(x_i-\bar x\)	\(-3\)	\(-2\)	0	1	4
\((x_i-\bar x)^2\)	9	4	0	1	16

\[ D=\frac{9+4+0+1+16}{5}=\frac{30}{5}=6. \]

е) Набор \(-1,-3,-2,3,3\)

\[ \bar x=\frac{-1-3-2+3+3}{5}=0. \]

\(x_i\)	\(-1\)	\(-3\)	\(-2\)	3	3
\(x_i-\bar x\)	\(-1\)	\(-3\)	\(-2\)	3	3
\((x_i-\bar x)^2\)	1	9	4	9	9

\[ D=\frac{1+9+4+9+9}{5}=\frac{32}{5}=6{,}4. \]

Проверка: сумма отклонений от среднего в каждом наборе равна \(0\), так и должно быть.

---

2. Наборы \(2,3,4,7\) и \(1,5,6,8\)

На числовой прямой отмечаем точки \(2,3,4,7\) и \(1,5,6,8\).

Для первого набора: \[ \bar x_1=\frac{2+3+4+7}{4}=4, \] \[ D_1=\frac{(2-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2+(7-4)^2}{4} =\frac{4+1+0+9}{4}=3{,}5. \]

Для второго набора: \[ \bar x_2=\frac{1+5+6+8}{4}=5, \] \[ D_2=\frac{(1-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2+(8-5)^2}{4} =\frac{16+0+1+9}{4}=6{,}5. \]

\[ 6{,}5>3{,}5, \] поэтому больше дисперсия второго набора: \(1,5,6,8\).

---

3. Наборы \(3,5,7,9\) и \(12,14,16,18\)

Первый набор: \[ \bar x_1=\frac{3+5+7+9}{4}=6, \] \[ D_1=\frac{(-3)^2+(-1)^2+1^2+3^2}{4} =\frac{9+1+1+9}{4}=5. \]

Второй набор: \[ \bar x_2=\frac{12+14+16+18}{4}=15, \] отклонения те же: \[ D_2=\frac{(-3)^2+(-1)^2+1^2+3^2}{4}=5. \]

Значит, рассеивание у наборов одинаковое. Второй набор — это первый, сдвинутый на \(9\): \[ 12=3+9,\quad 14=5+9,\quad 16=7+9,\quad 18=9+9. \] Сдвиг всех чисел не меняет дисперсию.

---

4. Рост всех учеников

Юношей и девушек поровну, поэтому средний рост всех учеников — среднее арифметическое двух средних: \[ \bar x=\frac{166{,}3+177{,}6}{2} =\frac{343{,}9}{2}=171{,}95\approx 172{,}0\text{ см}. \]

Средняя дисперсия внутри групп: \[ \frac{8{,}5+9{,}6}{2}=9{,}05. \]

Но нужно учесть ещё различие между средними групп. Общая дисперсия: \[ D=9{,}05+ \frac{(166{,}3-171{,}95)^2+(177{,}6-171{,}95)^2}{2}. \]

\[ 166{,}3-171{,}95=-5{,}65,\qquad 177{,}6-171{,}95=5{,}65, \] \[ 5{,}65^2=31{,}9225. \]

Тогда: \[ D=9{,}05+31{,}9225=40{,}9725\approx 40{,}97\text{ см}^2. \]

Ответ: средний рост \(172{,}0\) см; дисперсия \(40{,}97\) см².