Номер 566
Ответ: 42 см.
Почему так:
\(P\) — середина \(AB\), поэтому
\[ AP=\frac{AB}{2}. \]\(Q\) — середина \(AC\), поэтому
\[ AQ=\frac{AC}{2}. \]Отрезок \(PQ\) соединяет середины двух сторон треугольника, значит, это средняя линия. Она параллельна \(BC\) и равна её половине: \[ PQ=\frac{BC}{2}. \]
Тогда периметр треугольника \(APQ\): \[ P_{APQ}=AP+AQ+PQ= \frac{AB}{2}+\frac{AC}{2}+\frac{BC}{2}= \frac{AB+AC+BC}{2}. \]
То есть периметр \(APQ\) в 2 раза меньше периметра \(ABC\): \[ 21=\frac{P_{ABC}}{2}. \]
Отсюда: \[ P_{ABC}=21\cdot 2=42\text{ см}. \]
Проверка: если периметр большого треугольника 42 см, то у треугольника из средних линий он действительно будет \(42:2=21\) см.
Обсуждение
2 сообщениянапиши сначала решение потом ответ
Решение
Пусть \(P\) — середина \(AB\), а \(Q\) — середина \(AC\). Тогда \(PQ\) — средняя линия треугольника \(ABC\), поэтому
\[ PQ=\frac{BC}{2}. \]
Также
\[ AP=\frac{AB}{2}, \qquad AQ=\frac{AC}{2}. \]
Периметр треугольника \(APQ\) равен:
\[ P_{APQ}=AP+AQ+PQ= \frac{AB}{2}+\frac{AC}{2}+\frac{BC}{2}. \]
Вынесем \(\frac12\):
\[ P_{APQ}=\frac{AB+AC+BC}{2}. \]
Но \(AB+AC+BC\) — это периметр треугольника \(ABC\), значит:
\[ P_{APQ}=\frac{P_{ABC}}{2}. \]
По условию \(P_{APQ}=21\) см. Следовательно:
\[ 21=\frac{P_{ABC}}{2}, \]
\[ P_{ABC}=21\cdot 2=42\text{ см}. \]
Ответ: \(42\) см.
