Реши задание на изображении

Кратко (при допустимых значениях переменных):

а) \(\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x\sqrt{y}}\), или \(\dfrac1{\sqrt{xy}}-\dfrac1x\);

б) \(\sqrt{m}\);

в) \(-\dfrac1x\);

г) \(x-1\).

Порядок действий: сначала выполняем действия в скобках: приводим дроби к общему знаменателю, складываем или вычитаем; затем делим или умножаем за скобками. При делении на дробь умножаем на обратную.

а)

\[ \sqrt{xy}-\frac{xy}{x+\sqrt{xy}} =\frac{\sqrt{xy}(x+\sqrt{xy})-xy}{x+\sqrt{xy}} =\frac{x\sqrt{xy}}{x+\sqrt{xy}} =\frac{x\sqrt y}{\sqrt x+\sqrt y}. \]

Теперь делим:

\[ \frac{x\sqrt y}{\sqrt x+\sqrt y}:\frac{x^2y}{x-y} = \frac{x\sqrt y}{\sqrt x+\sqrt y}\cdot\frac{x-y}{x^2y}. \]

Так как

\[ x-y=(\sqrt x-\sqrt y)(\sqrt x+\sqrt y), \]

получаем:

\[ \frac{\sqrt x-\sqrt y}{x\sqrt y} = \frac1{\sqrt{xy}}-\frac1x. \]

б)

Обозначим \(t=\sqrt m\). Тогда \(m=t^2\), \(m-4=(t-2)(t+2)\):

\[ \frac{t-2}{t+2}+\frac{8t}{t^2-4} = \frac{(t-2)^2+8t}{t^2-4} = \frac{(t+2)^2}{(t-2)(t+2)} = \frac{t+2}{t-2}. \]

Далее:

\[ \frac{t+2}{t-2}:\frac{t+2}{m-2\sqrt m} = \frac{t+2}{t-2}\cdot\frac{t(t-2)}{t+2} =t=\sqrt m. \]

в)

\[ \frac1{x+x\sqrt y}+\frac1{x-x\sqrt y} = \frac1{x(1+\sqrt y)}+\frac1{x(1-\sqrt y)} = \frac{2}{x(1-y)}. \]

Умножаем на \(\dfrac{y-1}{2}\):

\[ \frac{2}{x(1-y)}\cdot\frac{y-1}{2} = -\frac1x. \]

г)

Сначала упрощаем первую дробь:

\[ \frac{x+\sqrt x}{\sqrt x+1} = \frac{\sqrt x(\sqrt x+1)}{\sqrt x+1} = \sqrt x. \]

Тогда всё выражение:

\[ (\sqrt x-2\sqrt x-1)(1-\sqrt x) = (-\sqrt x-1)(1-\sqrt x). \]

\[ (-\sqrt x-1)(1-\sqrt x) = -(\sqrt x+1)(1-\sqrt x) = -(1-x)=x-1. \]

Главный приём: заменять \(\sqrt m\) на \(t\) (или \(\sqrt x,\sqrt y\) на новые буквы) и раскладывать выражения по формулам сокращённого умножения.