Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ: \(x_1=2,\quad x_2=3\).

Как решать

Уравнение:

\[ x^2-5x+6=0 \]

Ищем два числа, которые в произведении дают \(6\), а в сумме дают \(5\):

\[ 2\cdot 3=6,\qquad 2+3=5 \]

Значит, квадратный трёхчлен раскладывается так:

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]

Получаем:

\[ (x-2)(x-3)=0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0 \]

Отсюда:

\[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3 \]

Проверка

Для \(x=2\):

\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0 \]

Для \(x=3\):

\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0 \]

Оба корня подходят.

Принцип: для приведённого квадратного уравнения \(x^2+px+q=0\) корни можно подбирать по теореме Виета:

\[ x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q \]

В нашем случае:

\[ x_1+x_2=5,\qquad x_1x_2=6 \]

поэтому корни \(2\) и \(3\).