Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Ответ: \(x_1=2,\;x_2=3\).

Как рассуждать:

Уравнение имеет вид

\[ x^2-5x+6=0. \]

Ищем два числа, которые в сумме дают \(5\), а в произведении — \(6\). Это \(2\) и \(3\):

\[ 2+3=5,\qquad 2\cdot 3=6. \]

Поэтому квадратный трёхчлен раскладывается так:

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]

Уравнение принимает вид

\[ (x-2)(x-3)=0. \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0. \]

Значит,

\[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3. \]

Проверка:

При \(x=2\):

\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0. \]

При \(x=3\):

\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]

Оба корня подходят.

Принцип: если трёхчлен \(x^2+px+q\) удаётся представить в виде \((x-a)(x-b)\), то его корни — \(a\) и \(b\), причём

\[ a+b=-p,\qquad ab=q. \]