Реши задание на изображении
Кратко для видимых пунктов:
а) \(x\in(-\infty;-7)\cup\left(\frac12;+\infty\right)\)
б) \(x\in\left[-\frac92;\,2\right]\)
Как решать такие неравенства
- Переносим всё в одну сторону, чтобы справа был \(0\).
- Находим корни квадратного выражения.
- Определяем знак квадратного выражения между корнями и вне них.
- Учитываем строгость знака: при \(>\) или \(<\) концы не входят, при \(\ge\) или \(\le\) входят.
а) \(2x^2+15x-7>2x\)
Переносим \(2x\):
\[ 2x^2+13x-7>0 \]
Находим корни уравнения \(2x^2+13x-7=0\):
\[ D=13^2-4\cdot2\cdot(-7)=169+56=225 \]
\[ x_{1,2}=\frac{-13\pm15}{4} \]
\[ x_1=\frac12,\qquad x_2=-7 \]
Так как коэффициент при \(x^2\) положителен, ветви параболы направлены вверх. Выражение больше нуля вне корней:
\[ x<-7 \quad\text{или}\quad x>\frac12 \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in(-\infty;-7)\cup\left(\frac12;+\infty\right)} \]
Проверка: при \(x=0\), то есть между корнями, получаем \(-7>0\) — неверно. При \(x=1\): \(2+15-7=10>2\) — верно. Всё сходится.
б) \(-x^2-x\ge x^2+4x-18\)
Переносим всё влево:
\[ -x^2-x-x^2-4x+18\ge0 \]
\[ -2x^2-5x+18\ge0 \]
Умножим на \(-1\), при этом знак неравенства меняется:
\[ 2x^2+5x-18\le0 \]
Находим корни:
\[ D=5^2-4\cdot2\cdot(-18)=25+144=169 \]
\[ x_{1,2}=\frac{-5\pm13}{4} \]
\[ x_1=2,\qquad x_2=-\frac92 \]
Ветви параболы направлены вверх, значит выражение меньше или равно нулю между корнями. Так как знак нестрогий, концы включаются:
\[ -\frac92\le x\le2 \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in\left[-\frac92;2\right]} \]
Проверка: при \(x=0\): \(0\ge-18\) — верно. При \(x=3\): \(-9-3\ge9+12-18\), то есть \(-12\ge3\) — неверно. Значит, интервал найден правильно.
