реши 55 номер
Кратко: да, это верно. Если взять середины последовательных сторон четырёхугольника, они всегда будут вершинами параллелограмма (его называют параллелограммом Вариньона).
Доказательство
Пусть дан четырёхугольник \(ABCD\), а \(M,N,P,Q\) — середины сторон \(AB,BC,CD,DA\) соответственно.
Рассмотрим треугольник \(ABC\).
\(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\), значит, \(MN\) — средняя линия треугольника \(ABC\).
Поэтому \[ MN \parallel AC,\qquad MN=\frac12 AC. \]Рассмотрим треугольник \(ADC\).
\(P\) и \(Q\) — середины сторон \(CD\) и \(DA\), значит, \(PQ\) — средняя линия треугольника \(ADC\).
Поэтому \[ PQ \parallel AC,\qquad PQ=\frac12 AC. \]Следовательно, \[ MN \parallel PQ \quad\text{и}\quad MN=PQ. \] Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон параллельна и равна, то он является параллелограммом.
Значит, \(MNPQ\) — параллелограмм.
Что важно понять: в этой задаче не нужно ничего вычислять — всё держится на свойстве средней линии треугольника. Середины соседних сторон дают отрезок, параллельный третьей стороне треугольника и равный её половине.
Можно проверить и по второй диагонали: аналогично \(NP \parallel BD\) и \(MQ \parallel BD\). То есть стороны нового четырёхугольника параллельны диагоналям исходного.
Обсуждение
2 сообщениянарисуй рисунок
Вот схема:
A──────M──────B
│ ╱ ╲ │
│ ╱ ╲ │
Q N
│ ╲ ╱ │
│ ╲ ╱ │
D──────P──────C
\(M,N,P,Q\) — середины сторон \(AB,BC,CD,DA\) соответственно.
Соединив их по порядку, получаем \(MNPQ\) — параллелограмм Вариньона.
Нарисовано на квадрате только для наглядности: для произвольного четырёхугольника построение такое же — отмечаешь середины сторон и соединяешь их последовательно.
