Реши задание на изображении
Краткие ответы
- а) \(2,1\); б) \(1,5\); в) \(2\); г) \(16\); д) \(\frac{1}{36}\); е) \(\frac{1}{64}\).
- а) \(x^2\); б) \(\frac{6b}{a}\).
- а) \(x=\pm0,7\); б) \(x=\pm\sqrt{10}\).
- а) \(4\); б) \(28\); в) \(2\); г) \(144\).
- \(3\).
- \(a>4\), то есть \(a\in(4;+\infty)\).
Как это получается
1. Вычисления
а)
\[
0,5\sqrt{0,04}+\frac16\sqrt{144}
=0,5\cdot0,2+\frac16\cdot12
=0,1+2=2,1.
\]
б)
\[
1\frac{9}{16}=\frac{25}{16},\qquad
\sqrt{1\frac{9}{16}}=\frac54.
\]
Тогда
\[
2\cdot\frac54-1=\frac52-1=\frac32=1,5.
\]
в)
\[
(2\sqrt{0,5})^2=2^2\cdot(\sqrt{0,5})^2
=4\cdot0,5=2.
\]
г)
\[
4^{11}\cdot4^{-9}=4^{11-9}=4^2=16.
\]
д)
\[
6^{-5}:6^{-3}=6^{-5-(-3)}=6^{-2}=\frac1{36}.
\]
е)
\[
(2^{-2})^3=2^{-6}=\frac1{64}.
\]
2. Упрощение выражений
а)
\[
(x^{-3})^4\cdot x^{14}=x^{-12}\cdot x^{14}=x^2.
\]
б)
\[
1,5a^2b^{-3}\cdot4a^{-3}b^4
=6a^{2-3}b^{-3+4}
=6a^{-1}b=\frac{6b}{a}.
\]
3. Уравнения вида \(x^2=c\)
Если \(c>0\), то у уравнения два корня:
\[
x=\pm\sqrt c.
\]
а)
\[
x^2=0,49 \quad\Rightarrow\quad x=\pm0,7.
\]
б)
\[
x^2=10 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{10}.
\]
4. Значения выражений
а) Здесь черта корня охватывает произведение: \[ \sqrt{0,25\cdot64}=\sqrt{16}=4. \]
б)
\[
\sqrt{56}\cdot\sqrt{14}
=\sqrt{56\cdot14}
=\sqrt{784}=28.
\]
в)
\[
\frac{\sqrt8}{\sqrt2}
=\sqrt{\frac82}
=\sqrt4=2.
\]
г)
\[
\sqrt{3^4\cdot2^8}
=\sqrt{3^4}\cdot\sqrt{2^8}
=3^2\cdot2^4
=9\cdot16=144.
\]
5. Выражение со степенями
Приводим всё к основанию \(3\): \[ 9^{-4}=(3^2)^{-4}=3^{-8}, \] \[ 27^{-6}=(3^3)^{-6}=3^{-18}. \] Значит, \[ \frac{3^{-9}\cdot9^{-4}}{27^{-6}} = \frac{3^{-9}\cdot3^{-8}}{3^{-18}} = \frac{3^{-17}}{3^{-18}} =3^{-17-(-18)} =3^1=3. \]
6. Область допустимых значений
Выражение \[ \frac{8}{\sqrt{a-4}} \] имеет смысл, если под корнем неотрицательное число, но сам корень не равен нулю, потому что он стоит в знаменателе: \[ a-4>0. \] Отсюда \[ a>4. \]
Что запомнить для похожих заданий
- \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\), \(\quad a^m:a^n=a^{m-n}\), \(\quad (a^m)^n=a^{mn}\).
- \(a^{-n}=\frac1{a^n}\).
- \(\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b\), \(\quad \frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac ab}\) при \(a,b\ge0,\ b\ne0\).
- У \(x^2=c\) при \(c>0\) два корня: \(\pm\sqrt c\).
- Если корень стоит в знаменателе, подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.
