Реши
Краткий ответ:
\[
x=3,\qquad x=\pm 2\sqrt2
\]
Как решать:
Сгруппируем слагаемые: \[ x^3-3x^2-8x+24=(x^3-3x^2)+(-8x+24) \]
Вынесем общие множители: \[ x^2(x-3)-8(x-3) \]
Теперь есть общий множитель \((x-3)\): \[ (x-3)(x^2-8)=0 \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=3 \] \[ x^2-8=0 \quad\Rightarrow\quad x^2=8 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt8=\pm2\sqrt2 \]
Проверка по теореме Виета:
Корни \(3,\ 2\sqrt2,\ -2\sqrt2\) дают:
\[
3+2\sqrt2-2\sqrt2=3
\]
\[
3\cdot2\sqrt2+3\cdot(-2\sqrt2)+(2\sqrt2)(-2\sqrt2)=-8
\]
\[
3\cdot2\sqrt2\cdot(-2\sqrt2)=-24
\]
Это соответствует коэффициентам уравнения \(x^3-3x^2-8x+24=0\).
Принцип: если в кубическом уравнении после группировки появляется одинаковая скобка, раскладываем на множители и приравниваем каждый множитель к нулю.
Обсуждение
3 сообщенияПомоги мне решать такие уравнение самой
Хорошо. Такие кубические уравнения обычно решаются группировкой — не угадыванием корней.
План:
Приведи уравнение к виду
\[ x^3+ax^2+bx+c=0. \]Сгруппируй слагаемые:
\[ (x^3+ax^2)+(bx+c). \]Вынеси общий множитель из каждой скобки так, чтобы в обеих скобках получилось одинаковое выражение.
Появится общая скобка: \[ (x+a)(x^2+b)=0. \]
Приравняй каждый множитель к нулю и реши получившиеся уравнения.
Главный ориентир: после вынесения множителей скобки должны совпасть. Если не совпадают — проверь знаки, особенно когда выносишь минус.
Давай потренируемся на похожем уравнении: \[ x^3+2x^2-9x-18=0. \]
Подсказка: из первых двух слагаемых вынеси \(x^2\). Посмотри, какая скобка получится, и постарайся так же вынести общий множитель из \(-9x-18\).
Напиши, что у тебя получится после вынесения, — проверю и подскажу следующий шаг.
Реши с решением
