помоги понять уравнения 234 235 236
Краткие ответы
234.
а) \(\pm\sqrt{\frac25}\); б) \(4\); в) \(\pm\frac1{\sqrt3}\); г) \(4\).
235.
а) \(10\); б) \(0\).
236.
а) \(-1\) и \(7\); б) действительных корней нет; в) \(4\).
Главный принцип
- Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
- Поэтому сначала находим недопустимые значения переменной, потом решаем уравнение.
- Если уравнение содержит несколько дробей, умножаем на общий знаменатель, решаем, но потом обязательно проверяем корни: те, при которых знаменатель обращается в нуль, отбрасываем.
234. Дробь равна нулю
а) \(\dfrac{5y^3-15y^2-2y+6}{y^2-9}=0\)
\[ 5y^3-15y^2-2y+6=(y-3)(5y^2-2) \] \[ y^2-9=(y-3)(y+3) \]
Значит, \(y\ne 3,\ y\ne -3\).
Числитель равен нулю при \[ y=3,\quad y=\pm\sqrt{\frac25}. \] Но \(y=3\) недопустимо, так как знаменатель тоже равен нулю.
Ответ: \(\pm\sqrt{\frac25}\).
б) \(\dfrac{3y^3-12y^2-y+4}{9y^4-1}=0\)
\[ 3y^3-12y^2-y+4=(y-4)(3y^2-1) \] \[ 9y^4-1=(3y^2-1)(3y^2+1) \]
Недопустимо \(3y^2-1=0\), то есть \(y\ne\pm\frac1{\sqrt3}\).
Корни числителя: \[ y=4,\quad y=\pm\frac1{\sqrt3}. \] Корни \(\pm\frac1{\sqrt3}\) не подходят.
Ответ: \(4\).
в) \(\dfrac{6x^3+48x^2-2x-16}{x^2-64}=0\)
\[ 6x^3+48x^2-2x-16=(x+8)(6x^2-2) \] \[ x^2-64=(x-8)(x+8) \]
Недопустимо \(x=\pm8\).
Корни числителя: \[ x=-8,\quad x=\pm\frac1{\sqrt3}. \] \(x=-8\) отбрасываем.
Ответ: \(\pm\frac1{\sqrt3}\).
г) \(\dfrac{y^3-4y^2-6y+24}{y^3-6y}=0\)
\[ y^3-4y^2-6y+24=(y-4)(y^2-6) \] \[ y^3-6y=y(y^2-6) \]
Недопустимы \(y=0\) и \(y=\pm\sqrt6\).
Корни числителя: \[ y=4,\quad y=\pm\sqrt6. \] \(\pm\sqrt6\) отбрасываем, потому что при них знаменатель равен нулю.
Ответ: \(4\).
235. Уравнения с дробями
а) \(\dfrac2{x-2}-\dfrac{10}{x+3}=\dfrac{50}{x^2+x-6}-1\)
Так как \[ x^2+x-6=(x-2)(x+3), \] то \(x\ne2,\ x\ne-3\).
Умножим на \((x-2)(x+3)\):
\[ 2(x+3)-10(x-2)=50-(x-2)(x+3). \]
Раскрываем скобки:
\[ -8x+26=56-x^2-x. \]
Получаем:
\[ x^2-7x-30=0, \] \[ (x-10)(x+3)=0. \]
Корни: \(x=10\) и \(x=-3\). Но \(x=-3\) недопустим.
Ответ: \(10\).
б) \(\dfrac{x+5}{x-1}+\dfrac{2x-5}{x-7}-\dfrac{30-12x}{8x-x^2-7}=0\)
Недопустимы \(x=1,\ x=7\), потому что \[ 8x-x^2-7=-(x-1)(x-7). \]
Поэтому третья дробь со знаком минус даёт:
\[ \frac{x+5}{x-1}+\frac{2x-5}{x-7} +\frac{30-12x}{(x-1)(x-7)}=0. \]
Умножаем на \((x-1)(x-7)\):
\[ (x+5)(x-7)+(2x-5)(x-1)+30-12x=0. \]
После раскрытия скобок:
\[ 3x^2-21x=0, \] \[ 3x(x-7)=0. \]
Корни: \(x=0\) и \(x=7\). Но \(x=7\) недопустим.
Ответ: \(0\).
236. Найдите корни уравнения
а) \(\dfrac{3x-2}{x-1}-\dfrac{2x+3}{x+3}=\dfrac{12x+4}{x^2+2x-3}\)
Так как \[ x^2+2x-3=(x-1)(x+3), \] то \(x\ne1,\ x\ne-3\).
Умножаем на \((x-1)(x+3)\):
\[ (3x-2)(x+3)-(2x+3)(x-1)=12x+4. \]
Раскрываем скобки:
\[ x^2+6x-3=12x+4. \]
Получаем:
\[ x^2-6x-7=0, \] \[ (x-7)(x+1)=0. \]
Корни \(x=7\) и \(x=-1\), оба допустимы.
Ответ: \(-1;\ 7\).
б) \(\dfrac{5x-1}{x+7}+\dfrac{2x+2}{x-3}+\dfrac{63}{x^2+4x-21}=0\)
\[ x^2+4x-21=(x+7)(x-3), \] поэтому \(x\ne-7,\ x\ne3\).
Умножаем на \((x+7)(x-3)\):
\[ (5x-1)(x-3)+(2x+2)(x+7)+63=0. \]
Раскрываем скобки:
\[ 5x^2-16x+3+2x^2+16x+14+63=0, \] \[ 7x^2+80=0. \]
Слева всегда положительное число, поэтому действительных корней нет.
Ответ: корней нет.
в) \(\dfrac{x}{x^2+4x+4}=\dfrac4{x^2-4}-\dfrac{16}{x^3+2x^2-4x-8}\)
Разложим знаменатели:
\[ x^2+4x+4=(x+2)^2, \] \[ x^2-4=(x-2)(x+2), \] \[ x^3+2x^2-4x-8=(x+2)^2(x-2). \]
Значит, \(x\ne2,\ x\ne-2\).
Умножаем на \((x+2)^2(x-2)\):
\[ x(x-2)=4(x+2)-16. \]
Раскрываем:
\[ x^2-2x=4x-8, \] \[ x^2-6x+8=0, \] \[ (x-2)(x-4)=0. \]
Корни: \(x=2\) и \(x=4\). Но \(x=2\) недопустим, так как знаменатель равен нулю.
Ответ: \(4\).
Проверка
Например, для 235а при \(x=10\):
\[ \frac28-\frac{10}{13}=-\frac{27}{52}, \] а правая часть \[ \frac{50}{104}-1=-\frac{27}{52}. \]
Совпадает. Остальные корни проверяются аналогично и не обращают знаменатели в нуль.
