Площадь трапеции через синус
Кратко. Если \(a\) и \(b\) — основания трапеции, \(c\) — боковая сторона, а \(\alpha\) — угол между этой стороной и основанием, то
\[ \boxed{S=\frac{a+b}{2}\cdot c\sin\alpha} \]
Это получается из обычной формулы площади трапеции через высоту.
Почему так
Площадь трапеции: \[ S=\frac{a+b}{2}\cdot h \] где \(h\) — высота.
Высоту можно найти из прямоугольного треугольника, который образует боковая сторона \(c\): \[ \sin\alpha=\frac{h}{c} \quad\Rightarrow\quad h=c\sin\alpha \]
Подставляем \(h\) в формулу площади: \[ S=\frac{a+b}{2}\cdot c\sin\alpha \]
Проверка на примере
Пусть основания равны \(8\) и \(4\), боковая сторона \(5\), угол между ней и основанием \(30^\circ\).
\[ h=5\sin30^\circ=5\cdot \frac12=2{,}5 \]
\[ S=\frac{8+4}{2}\cdot 2{,}5=6\cdot2{,}5=15 \]
Через синус сразу:
\[ S=\frac{8+4}{2}\cdot5\cdot\frac12=15 \]
Ответ: \(15\) квадратных единиц.
Важно: если известен угол между диагоналями \(d_1\) и \(d_2\), то для любого выпуклого четырёхугольника, включая трапецию, есть отдельная формула:
\[ S=\frac12 d_1 d_2\sin\varphi \]
где \(\varphi\) — угол между диагоналями.
Обсуждение
5 сообщенийПросто назови мне формулу
\[ S=\frac{a+b}{2}\cdot c\sin\alpha \]
где \(a,b\) — основания, \(c\) — боковая сторона, \(\alpha\) — угол между этой стороной и основанием.
Это та же формула площади трапеции через синус:
\[ S=\frac{AD+BC}{2}\cdot AB\cdot \sin\angle BAD \]
Подставляем данные:
\[ S=\frac{20+8}{2}\cdot 13\cdot \frac{12}{13} \]
\[ S=14\cdot 12=168 \]
Ответ: \(168\) (квадратных единиц).
Треугольник со сторонами 1,2,4 существует?
