Реши систему неравентсв

На фото полностью читаются две системы из номера 1.378. Их ответы:

а) \(x<2\), то есть \((-\infty;2)\);

в) \(-\frac53\le x<\frac72\), то есть \(\left[-\frac53;\frac72\right)\).

1.378 а)

\[ \begin{cases} 4x-2<2{,}5x+1,\\ 2-x>\dfrac{x-2}{2}. \end{cases} \]

Решаем каждое неравенство отдельно.

1. \(4x-2<2{,}5x+1\)
   \(4x-2{,}5x<1+2\)
   \(1{,}5x<3\)
   \(x<2\).

2. \(2-x>\dfrac{x-2}{2}\)
   Умножаем обе части на \(2\) — число положительное, знак не меняется: \[ 4-2x>x-2. \] Тогда: \[ 6>3x \quad\Rightarrow\quad x<2. \]

Оба неравенства дают \(x<2\). Значит, ответ системы: \[ \boxed{x<2} \]

Проверка: при \(x=0\): \(-2<1\) и \(2>-1\) — верно. При \(x=2\) первое неравенство уже нестрогое, а нам нужно строгое, поэтому \(2\) не включается.

1.378 в)

\[ \begin{cases} x+1\ge\dfrac{x-1}{4},\\[4pt] \dfrac{x-1}{3}<\dfrac{x+1}{5}-\dfrac1{15}. \end{cases} \]

1. \(x+1\ge\dfrac{x-1}{4}\)
   Умножаем на \(4\): \[ 4x+4\ge x-1, \] \[ 3x\ge-5, \] \[ x\ge-\frac53. \]

2. \(\dfrac{x-1}{3}<\dfrac{x+1}{5}-\dfrac1{15}\)
   Общий знаменатель \(15\), умножаем на \(15\): \[ 5(x-1)<3(x+1)-1, \] \[ 5x-5<3x+3-1, \] \[ 5x-5<3x+2, \] \[ 2x<7, \] \[ x<\frac72. \]

Пересекаем решения: \[ -\frac53\le x<\frac72. \]

Ответ: \[ \boxed{\left[-\frac53;\frac72\right)} \]

Левая граница включается, потому что было \(\ge\); правая не включается, потому что было \(<\).

Принцип: систему неравенств решают по правилу «И» — надо найти общую часть решений. Каждое неравенство решаем отдельно, а потом отмечаем пересечение на числовой прямой. При умножении на положительное число знак неравенства не меняется.