Реши задание на изображении
Если нужен именно номер с рисунком, это №15:
\[
x=108^\circ
\]
Ответ: A) 108°.
Остальные видимые номера:
| № | Ответ |
|---|---|
| 13 | A) \(n-3\) |
| 14 | I-D, II-C, III-B, IV-E — вариант A |
| 15 | A) \(108^\circ\) |
| 16 | A) 3 см |
| 17 | A) 11 см |
| 18 | A) 4 см |
| 19 | A) \(2\sqrt3\) см |
Как это получается
13. Из одной вершины \(n\)-угольника нельзя провести диагональ к самой вершине и к двум соседним. Значит: \[ n-3 \]
14.
- I. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам и равны:
\[ BD=2\cdot AO=16 \] - II. Диагональ квадрата: \[ d=a\sqrt2=5\sqrt2\cdot\sqrt2=10 \]
- III. В прямоугольнике \(AB\parallel CD\), поэтому накрест лежащие углы равны: \[ \angle ACD=\angle BAC=37^\circ \]
- IV. Диагональ квадрата делит прямой угол пополам: \[ 45^\circ \]
15. В параллелограмме \(AD=BC\). Дано \(DE=BC\), значит \(DE=AD\).
Треугольник \(ADE\) равнобедренный, угол при вершине \(D\) равен \(36^\circ\):
\[
\angle DAE=\angle AED=\frac{180^\circ-36^\circ}{2}=72^\circ
\]
Тогда \(\angle DAB=72^\circ\). В параллелограмме:
\[
\angle ADC=180^\circ-72^\circ=108^\circ
\]
Так как \(AC\) — биссектриса \(\angle DCB=72^\circ\), то
\[
\angle ACD=36^\circ
\]
В треугольнике \(ADC\):
\[
\angle DAC=180^\circ-108^\circ-36^\circ=36^\circ
\]
Теперь в треугольнике \(ADF\):
\[
\angle DAF=36^\circ,\quad \angle ADF=36^\circ
\]
Значит:
\[
x=\angle AFD=180^\circ-36^\circ-36^\circ=108^\circ
\]
16. Средняя линия треугольника вдвое короче стороны, поэтому периметр каждый раз уменьшается в 2 раза. После трёх повторений: \[ \frac{24}{2^3}=3 \]
17. Опустим высоты к основанию. Из \(\angle ADC=150^\circ\): \[ h=AD\sin30^\circ=\frac52,\qquad \text{вынос влево}=AD\cos30^\circ=\frac{5\sqrt3}{2} \] Справа при угле \(75^\circ\): \[ \text{вынос вправо}=\frac52\cot75^\circ \] Так как \(\cot75^\circ=2-\sqrt3\), то суммарный «вынос» равен \(5\). Поэтому: \[ AB=CD+5=6+5=11 \]
18. Параллельные прямые делят стороны секущих пропорционально: \[ \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF} \] Из \(2AB=3BC\): \[ \frac{AB}{BC}=\frac32 \] Тогда: \[ \frac{x+5}{x+2}=\frac32 \] \[ 2x+10=3x+6 \] \[ x=4 \]
19. Сумма углов четырёхугольника \(360^\circ\):
\[
\angle ABC=360^\circ-150^\circ-60^\circ-60^\circ=90^\circ
\]
Значит \(AB\perp BC\). Если \(AB=a\), то \(BC=6\), а точка \(D\) из-за \(AD=4\) и \(\angle DAB=150^\circ\) имеет высоту \(2\) и сдвиг влево \(2\sqrt3\).
Вертикальная разность между \(C\) и \(D\):
\[
6-2=4
\]
При \(\angle DCB=60^\circ\) горизонтальная разность:
\[
4\tan60^\circ=4\sqrt3
\]
Она равна \(a+2\sqrt3\), значит:
\[
a+2\sqrt3=4\sqrt3
\]
\[
a=2\sqrt3
\]
Обсуждение
2 сообщенияНачинай с 13
Начинаю с №13.
№13 — A) \(n-3\)
Из одной вершины \(n\)-угольника нельзя провести диагонали к самой этой вершине и к двум соседним. Поэтому число диагоналей: \[ n-3. \]
№14 — A) I-D, II-C, III-B, IV-E
- I. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам: \[ BD=2AO=2\cdot 8=16 \quad \Rightarrow \text{D}. \]
- II. Диагональ квадрата: \[ d=a\sqrt2=5\sqrt2\cdot\sqrt2=10 \quad \Rightarrow \text{C}. \]
- III. В прямоугольнике \(AB\parallel CD\), значит накрест лежащие углы равны: \[ \angle ACD=\angle BAC=37^\circ \quad \Rightarrow \text{B}. \]
- IV. Диагональ квадрата делит прямой угол пополам: \[ 45^\circ \quad \Rightarrow \text{E}. \]
Ответ: A.
№15 — A) \(108^\circ\)
По рисунку \(E\in AB\), \(F=AC\cap DE\).
В параллелограмме \(AD=BC\), а дано \(DE=BC\), значит: \[ AD=DE. \] Треугольник \(ADE\) равнобедренный, угол при вершине \(D\) равен \(36^\circ\), значит: \[ \angle DAE=\angle AED=\frac{180^\circ-36^\circ}{2}=72^\circ. \] Следовательно: \[ \angle DAB=72^\circ. \] В параллелограмме: \[ \angle ADC=180^\circ-72^\circ=108^\circ. \] Угол \(DCB\) равен углу \(DAB\), то есть \(72^\circ\). Так как \(AC\) — биссектриса: \[ \angle ACD=36^\circ. \] Тогда в треугольнике \(ADC\): \[ \angle DAC=180^\circ-108^\circ-36^\circ=36^\circ. \] В треугольнике \(ADF\): \[ \angle DAF=36^\circ,\qquad \angle ADF=\angle ADE=36^\circ. \] Значит: \[ x=\angle AFD=180^\circ-36^\circ-36^\circ=108^\circ. \]
Ответ: A) \(108^\circ\).
№16 — A) \(3\) см
Каждый раз, соединяя середины сторон, получаем треугольник, подобный исходному с коэффициентом \(\frac12\). Периметр уменьшается в \(2\) раза. После трёх шагов: \[ \frac{24}{2^3}=\frac{24}{8}=3. \]
Ответ: A) \(3\) см.
№17 — A) \(11\) см
Высота трапеции: \[ h=AD\sin30^\circ=5\cdot\frac12=\frac52. \] Суммарное горизонтальное удлинение нижнего основания: \[ 5\cos30^\circ+\frac52\cot75^\circ =\frac{5\sqrt3}{2}+\frac52(2-\sqrt3)=5. \] По рисунку верхнее основание равно \(6\). Тогда нижнее: \[ AB=6+5=11. \]
Ответ: A) \(11\) см.
№18 — A) \(4\) см
По теореме о пропорциональных отрезках: \[ \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}. \] Дано: \[ 2AB=3BC \quad \Rightarrow \quad \frac{AB}{BC}=\frac32. \] По рисунку \(DE=x+5\), \(EF=x+2\). Тогда: \[ \frac{x+5}{x+2}=\frac32. \] Отсюда: \[ 2x+10=3x+6, \] \[ x=4. \]
Ответ: A) \(4\) см.
№19 — A) \(2\sqrt3\) см
Сумма углов четырёхугольника: \[ \angle ABC=360^\circ-150^\circ-60^\circ-60^\circ=90^\circ. \] Поместим \(A(0;0)\), \(B(a;0)\). Тогда \(AB=a\), \(BC=6\), значит \(C(a;6)\).
Так как \(AD=4\) и \(\angle DAB=150^\circ\): \[ D\left(4\cos150^\circ;\,4\sin150^\circ\right)=(-2\sqrt3;\,2). \] Вертикальная разность между \(C\) и \(D\): \[ 6-2=4. \] При \(\angle DCB=60^\circ\): \[ \tan60^\circ=\frac{a+2\sqrt3}{4}. \] Значит: \[ \sqrt3=\frac{a+2\sqrt3}{4}, \] \[ 4\sqrt3=a+2\sqrt3, \] \[ a=2\sqrt3. \]
Ответ: A) \(2\sqrt3\) см.
Итог
\[ \boxed{13-A,\quad 14-A,\quad 15-A,\quad 16-A,\quad 17-A,\quad 18-A,\quad 19-A} \]
