Реши задание на изображении
На фото задачи 438–440. Краткие ответы:
438. \(6\ \text{см}^2\).
439. \(d=\dfrac12\sqrt{8R^2-a^2}\) при \(2R\le a\le 2\sqrt2R\).
440. \(S=3R^2\).
438
Пусть радиус цилиндра \(R\), высота \(H\).
Осевое сечение — прямоугольник \(2R\times H\), поэтому
\[ 2RH=4\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad RH=2\sqrt3. \]
Плоскость, параллельная оси и отстоящая от неё на \(R/2\), вырезает в основании хорду
\[ 2\sqrt{R^2-\left(\frac R2\right)^2} =2\sqrt{\frac{3R^2}{4}} =\sqrt3R. \]
Сечение — прямоугольник со сторонами \(\sqrt3R\) и \(H\):
\[ S=\sqrt3RH=\sqrt3\cdot 2\sqrt3=6. \]
439
Пусть \(A\) лежит на верхнем основании, \(B\) — на нижнем, а \(A'\) — проекция \(A\) на нижнее основание. Тогда
\[ AA'=2R, \]
поэтому проекция \(AB\) на основание — хорда \(BA'\) длиной
\[ BA'=\sqrt{a^2-(2R)^2}=\sqrt{a^2-4R^2}. \]
Расстояние от оси цилиндра до прямой \(AB\) равно расстоянию от центра основания \(O\) до хорды \(BA'\):
\[ d^2=R^2-\left(\frac{BA'}2\right)^2. \]
Подставляем:
\[ d^2=R^2-\frac{a^2-4R^2}{4} =2R^2-\frac{a^2}{4}. \]
Значит,
\[ \boxed{d=\sqrt{2R^2-\frac{a^2}{4}} =\frac12\sqrt{8R^2-a^2}}. \]
Проверка: при \(a=2R\) прямая \(AB\) — образующая, \(d=R\); при \(a=2\sqrt2R\) она проходит через ось, \(d=0\).
440
Высота цилиндра
\[ h=\sqrt6R. \]
Так как \(\sqrt6R>2R\), сторона, соединяющая точки разных оснований, длиннее любой хорды основания. Поэтому \(AB\) — хорда основания, а \(BC\) соединяет основания.
Пусть
\[ AB=x,\qquad BC=3x. \]
Пусть \(M\) — середина хорды \(AB\). Тогда
\[ OM=\sqrt{R^2-\left(\frac x2\right)^2}. \]
Верхняя сторона \(CD\) равна \(AB\) и параллельна ей. Поскольку все вершины лежат на разных образующих, хорда \(CD\) расположена симметрично \(AB\), поэтому проекция наклонной стороны \(BC\) на основание равна \(2OM\).
Тогда
\[ BC^2=h^2+(2OM)^2 =6R^2+4\left(R^2-\frac{x^2}{4}\right) =10R^2-x^2. \]
Но \(BC=3x\), значит:
\[ (3x)^2=10R^2-x^2, \]
\[ 9x^2=10R^2-x^2, \]
\[ 10x^2=10R^2 \quad\Rightarrow\quad x=R. \]
Следовательно, \(AB=R\), \(BC=3R\), и площадь прямоугольника
\[ \boxed{S=AB\cdot BC=R\cdot 3R=3R^2}. \]
Обсуждение
2 сообщенияПострой рисунок в 439
Вот схема к № 439.
Сначала — сечение, проходящее через \(A\), \(B\) и проекцию \(A'\) точки \(A\) на нижнее основание:
\[ \begin{array}{c} \quad A\\ \quad \bullet\\ \quad /|\\ a / |\ 2R\\ \ / \ |\\ B\bullet\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\bullet A'\\ \end{array} \]
Здесь:
\[ AA'=2R,\qquad AB=a,\qquad A'B=\sqrt{a^2-4R^2}, \] \[ AA'\perp A'B. \]
Теперь вид сверху на нижнее основание:
\[ \begin{array}{c} B\bullet\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\bullet M\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\bullet A'\\ \quad\backslash\qquad\ \ |\qquad\quad/\\ \quad\ \backslash\qquad |d=OM\quad/\\ \quad\quad\backslash\quad\perp\quad/\\ \quad\quad\quad\bullet O \end{array} \]
На этом рисунке:
- \(O\) — центр нижнего основания;
- \(B\) и \(A'\) лежат на окружности нижнего основания;
- \(M\) — середина хорды \(BA'\), поэтому
\[ OM\perp BA',\qquad BM=MA'=\frac12 A'B; \] - искомое расстояние от оси цилиндра до прямой \(AB\) равно
\[ d=OM. \]
То есть на нижнем основании надо провести хорду \(BA'\), отметить её середину \(M\) и опустить перпендикуляр \(OM\). Длина \(OM\) и есть искомое расстояние.
