Номер 103 и 104

Кратко: в №103 нужно доказать \(\triangle BPC\cong\triangle B_1P_1C_1\); в №104 — \(\angle CBD=\angle DEC\).

№ 103

1. Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\): \[ AB=A_1B_1,\quad AC=A_1C_1,\quad \angle A=\angle A_1. \] Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда \[ BC=B_1C_1,\qquad \angle ABC=\angle A_1B_1C_1. \]

2. Так как \(P\) лежит на \(AB\), а \(P_1\) — на \(A_1B_1\): \[ PB=AB-AP,\qquad P_1B_1=A_1B_1-A_1P_1. \] По условию \(AP=A_1P_1\) и \(AB=A_1B_1\), поэтому \[ PB=P_1B_1. \]

3. В треугольниках \(BPC\) и \(B_1P_1C_1\): \[ PB=P_1B_1,\qquad BC=B_1C_1, \] а углы между этими сторонами равны: \[ \angle PBC=\angle P_1B_1C_1. \] Следовательно, по двум сторонам и углу между ними \[ \triangle BPC\cong\triangle B_1P_1C_1. \]

№ 104

1. Точка \(B\) лежит на \(AC\), поэтому \[ BC=AC-AB. \] Точка \(E\) лежит на \(AD\), поэтому \[ ED=AD-AE. \] Но \(AC=AD\) и \(AB=AE\), значит, \[ BC=ED. \]

2. Рассмотрим \(\triangle ABD\) и \(\triangle AEC\): \[ AB=AE,\qquad AD=AC, \] а угол между этими сторонами один и тот же: \[ \angle BAD=\angle EAC. \] По двум сторонам и углу между ними \[ \triangle ABD\cong\triangle AEC. \] Отсюда \[ BD=EC. \]

3. Теперь рассмотрим \(\triangle BCD\) и \(\triangle EDC\): \[ BC=ED,\qquad BD=EC,\qquad CD\text{ — общая сторона}. \] По трём сторонам \[ \triangle BCD\cong\triangle EDC. \] В равных треугольниках соответственные углы равны, поэтому \[ \angle CBD=\angle DEC. \]

Что важно запомнить: сначала доказываем равенство «больших» треугольников, чтобы получить недостающие стороны или углы, а потом применяем признак равенства к нужным треугольникам.