Номер 103 и 104

103

Кратко: \(\triangle BPC=\triangle B_1P_1C_1\) по двум сторонам и углу между ними.

Доказательство:

1. \(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\) по двум сторонам и углу между ними: \[ AB=A_1B_1,\quad AC=A_1C_1,\quad \angle A=\angle A_1. \] Значит, \[ BC=B_1C_1,\qquad \angle ABC=\angle A_1B_1C_1. \]

2. Так как \(P\) лежит на \(AB\), а \(P_1\) — на \(A_1B_1\), то \[ PB=AB-AP,\qquad P_1B_1=A_1B_1-A_1P_1. \] Но \(AB=A_1B_1\) и \(AP=A_1P_1\), поэтому \[ PB=P_1B_1. \]

3. Углы \(\angle PBC\) и \(\angle P_1B_1C_1\) равны, потому что луч \(BP\) совпадает с лучом \(BA\), а луч \(B_1P_1\) — с лучом \(B_1A_1\): \[ \angle PBC=\angle ABC=\angle A_1B_1C_1=\angle P_1B_1C_1. \]

4. В треугольниках \(BPC\) и \(B_1P_1C_1\): \[ PB=P_1B_1,\qquad BC=B_1C_1,\qquad \angle PBC=\angle P_1B_1C_1. \] По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними: \[ \triangle BPC=\triangle B_1P_1C_1. \]

104

Кратко: \(\angle CBD=\angle DEC\), так как \(\triangle CBD=\triangle DEC\) по трём сторонам.

Доказательство:

1. Рассмотрим \(\triangle ABD\) и \(\triangle AEC\): \[ AB=AE,\qquad AD=AC, \] а угол при вершине \(A\) у них общий — это один и тот же угол \(CAD\). Значит, \[ \triangle ABD=\triangle AEC \] по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, \[ BD=EC. \]

2. Так как \(B\) лежит на \(AC\), а \(E\) — на \(AD\), то \[ BC=AC-AB,\qquad DE=AD-AE. \] По условию \(AC=AD\) и \(AB=AE\), поэтому \[ BC=DE. \]

3. В треугольниках \(CBD\) и \(DEC\): \[ CB=DE,\qquad BD=EC,\qquad CD\text{ — общая сторона.} \] Значит, \[ \triangle CBD=\triangle DEC \] по трём сторонам.

4. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Угол \(\angle CBD\) соответствует углу \(\angle DEC\), поэтому \[ \angle CBD=\angle DEC. \]

Что важно понять: в обеих задачах сначала доказываем равенство «больших» или вспомогательных треугольников, а потом переносим равенство сторон и углов на нужные треугольники. Ещё один ключевой приём — равные отрезки на одной прямой дают равные разности: \(PB=AB-AP\), \(BC=AC-AB\) и т. п.