Номер 100

Начерти четырёхугольник \(ABCD\) и проведи диагональ \(AC\):

• вершины по порядку: \(A \to B \to C \to D\);
• \(B\) и \(D\) — по разные стороны от \(AC\);
• отметь \(\angle BCA=\angle1\) и \(\angle CAD=\angle2\) равными дужками;
• отметь одинаковыми штрихами \(BC=AD=17\) см;
• подпиши \(CD=14\) см.

Диагональ \(BD\) проводить не нужно.

Если в задании не требуется строить фигуру, чертёж можно сделать схематично — для записи решения достаточно.

Пока нет: на фото просто пустая рамка без обозначений.

Нарисуй четырёхугольник \(ABCD\) и проведи диагональ \(AC\) — удобно в виде прямоугольника или параллелограмма. Подпиши:

• \(BC=AD=17\) см;
• \(CD=AB=14\) см;
• \(\angle BCA=\angle CAD\) отметь одинаковыми дужками;
• \(B\) и \(D\) должны лежать по разные стороны от \(AC\).

Почти — четырёхугольник и диагональ начерчены верно. Осталось подписать:

• A — нижняя левая вершина;
• B — верхняя левая;
• C — верхняя правая;
• D — нижняя правая.

Тогда диагональ — \(AC\).

Подпиши стороны: \[ AB=CD=14\text{ см},\qquad BC=AD=17\text{ см}. \]

Отметь одинаковыми дужками \(\angle BCA\) и \(\angle CAD\) (можно подписать их как \(\angle1\) и \(\angle2\)).

Оформить можно так:

№ 100

Чертёж: четырёхугольник \(ABCD\), диагональ \(AC\); точки \(B\) и \(D\) — по разные стороны от \(AC\). Равные углы отметь дужками.

Дано: \[ BC=AD,\quad \angle BCA=\angle CAD,\quad CD=14\text{ см},\quad AD=17\text{ см}. \]

Доказать: \[ \triangle ABC=\triangle CDA. \]

Найти: \(AB,\ BC\).

Доказательство:

1. Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\):

• \(AC\) — общая сторона;
• \(BC=AD\) — по условию;
• \(\angle BCA=\angle CAD\) — по условию.

Следовательно, \[ \triangle ABC=\triangle CDA \] по двум сторонам и углу между ними — 1-й признак равенства треугольников.

2. Из равенства треугольников: \[ AB=CD=14\text{ см},\qquad BC=AD=17\text{ см}. \]

Ответ: \(AB=14\) см, \(BC=17\) см.

Хороший вопрос — давай разберём не «что писать», а почему это работает.

1. Главная идея

Про четырёхугольник мы почти ничего не знаем — признаков равенства для них нет. Зато есть признаки равенства треугольников. Поэтому первое, что делают в таких задачах:

Провести диагональ — и разбить четырёхугольник на два треугольника.

Диагональ \(AC\) — это как «мостик»: она превращает одну непонятную фигуру в две понятные.

2. Что мы ищем

Смотрим на два треугольника: \(ABC\) и \(CDA\). Они выглядят как отражение друг друга. Чтобы доказать, что они равны, нужно найти три пары равных элементов.

Выписывай по порядку:

Три пары есть — значит, треугольники равны. Это первый признак: две стороны и угол между ними.

3. Самое важное — где стоит угол

Здесь чаще всего ошибаются. Угол должен быть между теми двумя сторонами, которые ты сравниваешь.

Проверь себя по чертежу:

• в треугольнике \(ABC\) угол \(\angle BCA\) лежит между сторонами \(BC\) и \(AC\);
• в треугольнике \(CDA\) угол \(\angle CAD\) лежит между сторонами \(AD\) и \(AC\).

Обе эти стороны у нас как раз равны. Значит, признак применить можно. Если бы угол стоял «не там» — например, \(\angle BAC\) — признак не сработал бы.

Правило-памятка: угол должен «держать за руки» именно те две стороны, о равенстве которых идёт речь.

4. Зачем нам вообще равенство треугольников

Дальше — самое приятное. Если треугольники равны, то все их соответственные элементы равны. То есть бесплатно получаем ответ: раз \(BC\) совпадает с \(AD\), то \(AB\) совпадёт с \(CD\).

Как не запутаться: выпиши вершины в порядке соответствия.

\[ \triangle ABC = \triangle CDA \;\Rightarrow\; A \leftrightarrow C,\quad B \leftrightarrow D,\quad C \leftrightarrow A. \]

Отсюда сразу: \(AB = CD = 14\) см. Это и есть ответ.

5. Как проверить, что ты поняла

Закрой тетрадь и ответь себе на три вопроса:

1. Зачем я провожу диагональ? (чтобы получить треугольники)
2. Какие три пары равных элементов я нашла? (сторона, сторона, угол между ними)
3. Почему из равенства треугольников следует \(AB = CD\)? (потому что это соответственные стороны)

Если все три ответа приходят без подглядывания — тему ты поняла.

Ещё помогает физическое действие: вырежь из бумаги два одинаковых треугольника, положи их как \(ABC\) и \(CDA\), а потом переверни один — он ляжет ровно на другой. Это и есть наглядный смысл равенства.

Кратко:

1. Зачем диагональ? Четырёхугольник мы сравнивать не умеем, а треугольники — умеем. Диагональ делит его на два треугольника.

2. Ищем три пары равных элементов:

   • \(AC\) — общая;
   • \(BC=AD\) — дано;
   • \(\angle BCA=\angle CAD\) — дано.

   Три пары есть → треугольники равны по 1-му признаку (две стороны и угол между ними).

3. Главное: угол должен лежать между теми сторонами, которые сравниваешь. \(\angle BCA\) — между \(BC\) и \(AC\); \(\angle CAD\) — между \(AD\) и \(AC\). Совпадает.

4. Зачем это нужно: у равных треугольников все соответственные элементы равны, поэтому \(AB=CD=14\) см.

Проверка понимания: зачем диагональ → какие три пары → почему \(AB=CD\). Ответила без тетради — поняла.