На лавке сидят семеро ребят. Каждый имеет среди остальных не менее трех братьев. Докажите, что все семеро братья. 10 класс вероятность

Краткий ответ. Все семеро должны оказаться в одной семье, значит, каждый из них — брат любому другому.

Доказательство.

1. Разобьём семерых ребят на группы по семьям.
2. Пусть в одной такой группе \(m\) мальчиков. Тогда у любого мальчика из этой группы среди сидящих ровно
   \[ m-1 \] братьев.
3. По условию у каждого не меньше трёх братьев, поэтому \[ m-1\ge 3 \quad \Rightarrow \quad m\ge 4. \] То есть каждая семья, представители которой есть на лавке, должна быть представлена хотя бы четырьмя мальчиками.
4. Если бы семей было хотя бы две, то на лавке сидело бы не меньше \[ 4+4=8 \] ребят, а их всего \(7\). Противоречие.
5. Значит, семья только одна — все семеро из неё. Следовательно, любые двое из семерых являются братьями.

Проверка. Если все семеро — родные братья, то у каждого из них ровно \(7-1=6\) братьев среди остальных, что не меньше трёх. Условие выполнено.

Важно: здесь слово «братья» понимается в обычном школьном смысле — родные братья, и речь идёт о мальчиках. Если разрешать девочек или сводных братьев, формулировка задачи уже не была бы верной без дополнительных уточнений.