110 построй мне правильную график и отметь точки по цифрам
Краткий ответ
Все графики — параболы вида
\[
y=a(x-m)^2+n.
\]
У такой параболы вершина \(V(m;n)\), ось симметрии \(x=m\). Если \(a>0\), ветви вверх; если \(a<0\) — вниз. Чем больше \(|a|\), тем парабола уже.
| Пункт | Функция | Вершина | Ветви |
|---|---|---|---|
| а | \(y=\frac12(x-2)^2+1\) | \((2;1)\) | вверх |
| б | \(y=\frac12(x+3)^2-1\) | \((-3;-1)\) | вверх |
| в | \(y=-4(x-3)^2+5\) | \((3;5)\) | вниз |
| г | \(y=-4(x+2)^2-2\) | \((-2;-2)\) | вниз |
Главное правило для точек: от вершины при \(x=m\pm k\)
\[
y=n+a\cdot k^2.
\]
а) \(y=\frac12(x-2)^2+1\)
Вершина — точка \((2;1)\). Ветви вверх, парабола шире обычной \(y=x^2\).
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(5{,}5\) | \(3\) | \(1{,}5\) | \(1\) | \(1{,}5\) | \(3\) | \(5{,}5\) |
Отмечай точки: \((-1;5{,}5)\), \((0;3)\), \((1;1{,}5)\), \((2;1)\), \((3;1{,}5)\), \((4;3)\), \((5;5{,}5)\).
Проведи пунктиром ось \(x=2\).
б) \(y=\frac12(x+3)^2-1\)
Здесь \(x+3=x-(-3)\), поэтому вершина смещена влево на 3: \((-3;-1)\).
| \(x\) | \(-6\) | \(-5\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(3{,}5\) | \(1\) | \(-0{,}5\) | \(-1\) | \(-0{,}5\) | \(1\) | \(3{,}5\) |
Вершина — самая нижняя точка. Ветви вверх. Ось симметрии \(x=-3\).
в) \(y=-4(x-3)^2+5\)
Вершина \((3;5)\), ветви вниз, парабола очень узкая. При смещении на 1 клетку вбок график опускается на 4 клетки.
| \(x\) | \(1{,}5\) | \(2\) | \(2{,}5\) | \(3\) | \(3{,}5\) | \(4\) | \(4{,}5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-4\) | \(1\) | \(4\) | \(5\) | \(4\) | \(1\) | \(-4\) |
То есть отмечай \((3;5)\) — вершину, \((2{,}5;4)\), \((3{,}5;4)\), \((2;1)\), \((4;1)\). Ветви круто идут вниз.
г) \(y=-4(x+2)^2-2\)
Вершина \((-2;-2)\), ветви вниз, парабола узкая.
| \(x\) | \(-3\) | \(-2{,}5\) | \(-2\) | \(-1{,}5\) | \(-1\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-6\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-3\) | \(-6\) |
Отмечай \((-2;-2)\) — вершину, \((-2{,}5;-3)\), \((-1{,}5;-3)\), \((-3;-6)\), \((-1;-6)\). Ось симметрии \(x=-2\).
Проверка: подставь \(x\) вершины в формулу — должна получиться координата \(y\) вершины. Например, в пункте в при \(x=3\): \[ y=-4(3-3)^2+5=5. \] Значит, вершина действительно \((3;5)\).
Соединяй точки плавной кривой, не по линейке. В пунктах а и б ветви смотрят вверх, в пунктах в и г — вниз.
