Объясни мне контрольную по теме стандартные отклонения числового набора
Коротко: стандартное отклонение \(\sigma\) показывает, насколько значения набора в типичном случае разбросаны около своего среднего. Для набора \(x_1,\ldots,x_n\):
\[ \bar x=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}, \]
\[ D=\frac{(x_1-\bar x)^2+\cdots+(x_n-\bar x)^2}{n}, \qquad \sigma=\sqrt{D}. \]
Здесь \(D\) — дисперсия, а \(\sigma\) — стандартное отклонение, его ещё называют средним квадратичным отклонением.
Алгоритм:
- Найди среднее арифметическое \(\bar x\).
- Выпиши отклонения каждого числа от среднего: \(x_i-\bar x\).
- Возведи каждое отклонение в квадрат — чтобы плюсы и минусы не уничтожали друг друга.
- Найди среднее этих квадратов. Получится дисперсия \(D\).
- Извлеки корень: \(\sigma=\sqrt D\).
Пример. Набор: \(2,4,4,4,5,5,7,9\).
\[ \bar x=\frac{2+4+4+4+5+5+7+9}{8}=5. \]
Отклонения: \(-3,-1,-1,-1,0,0,2,4\). Их сумма действительно равна \(0\) — это хорошая проверка.
Квадраты отклонений:
\[ 9+1+1+1+0+0+4+16=32. \]
\[ D=\frac{32}{8}=4,\qquad \sigma=\sqrt4=2. \]
Значит, типичный разброс значений около среднего здесь порядка \(2\).
Если данные даны таблицей частот. Пусть значение \(x_i\) встречается \(n_i\) раз, а всего чисел \(N\). Тогда:
\[ \bar x=\frac{\sum n_i x_i}{N}, \qquad D=\frac{\sum n_i(x_i-\bar x)^2}{N}, \qquad \sigma=\sqrt D. \]
Если даны относительные частоты \(p_i\), то
\[ D=\sum p_i(x_i-\bar x)^2. \]
Что важно помнить и проверять:
- Дисперсия и стандартное отклонение не бывают отрицательными.
- \(\sigma=0\) только тогда, когда все числа набора равны.
- Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сами данные, а дисперсия — в квадратных.
- Если ко всем числам прибавить одно и то же число, \(\sigma\) не изменится.
- Если все числа умножить на \(k\), то \(\sigma\) умножится на \(|k|\).
- Одинаковое среднее не означает одинаковый разброс: например, у наборов \(3,4,4,5\) и \(0,4,4,8\) среднее равно \(4\), но во втором наборе стандартное отклонение намного больше.
- Выбросы сильно увеличивают \(\sigma\), потому что отклонения возводятся в квадрат.
В школьных задачах для уже данного набора обычно делят на \(n\). Если в классе вводили выборочную дисперсию, там может быть деление на \(n-1\) — используй ту формулу, которую давал учитель.
