Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ: \(x_1 = 2,\; x_2 = 3\).

Способ 1. Разложение на множители

Ищем два числа, которые в сумме дают \(5\) (коэффициент при \(x\) с противоположным знаком), а в произведении — \(6\) (свободный член). Это \(2\) и \(3\):

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x-2=0 \Rightarrow x=2, \qquad x-3=0 \Rightarrow x=3 \]

Способ 2. Через дискриминант (универсальный)

\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]

\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2} \]

\[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3 \]

Способ 3. Теорема Виета

Для приведённого уравнения \(x^2+px+q=0\):

\[ x_1+x_2=-p=5,\qquad x_1\cdot x_2=q=6 \]

Подбор даёт те же \(2\) и \(3\).

Проверка

\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0,\qquad 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0 \]

Оба корня подходят.

Принцип: квадратное уравнение сводится либо к произведению множителей, либо к формуле с дискриминантом; знак \(D\) подсказывает, сколько корней: \(D>0\) — два, \(D=0\) — один, \(D<0\) — нет действительных корней.