Реши задание на изображении
Краткий ответ: \(A_1B_1=25\) см.
Решение
Плоскость, параллельная \(AB\), пересекает плоскость треугольника по прямой \(A_1B_1\). Значит, \[ A_1B_1 \parallel AB. \]
Поэтому треугольники \(CA_1B_1\) и \(CAB\) подобны: \[ \triangle CA_1B_1 \sim \triangle CAB. \] Коэффициент подобия равен отношению сторон, выходящих из вершины \(C\): \[ k=\frac{CA_1}{CA}. \]
По условию \[ AA_1:A_1C=3:5. \] Пусть \(AA_1=3x\), \(A_1C=5x\). Тогда \[ AC=AA_1+A_1C=3x+5x=8x. \] Значит, \[ k=\frac{CA_1}{CA}=\frac{5x}{8x}=\frac58. \]
Следовательно, \[ A_1B_1=k\cdot AB=\frac58\cdot40=25\text{ см}. \]
Проверка: \(25<40\), то есть отрезок \(A_1B_1\) меньше \(AB\), как и должно быть, поскольку он ближе к вершине \(C\).
Ответ: \(\boxed{25\text{ см}}\).
Обсуждение
4 сообщенияСделать чертеж
Вот схематичный чертёж:
C
/ \
/ \
/ \
A₁-----B₁ A₁B₁ ∥ AB, A₁B₁ = 25
/ \
/ \
A-------------B AB = 40
Как построить точно:
- Начерти отрезок \(AB=40\). Для тетради удобно взять масштаб \(1:5\), то есть \(AB=8\) см.
- Отметь точку \(C\) и соедини её с \(A\) и \(B\).
- Раздели стороны \(AC\) и \(BC\) на \(8\) равных частей.
- На \(AC\) отметь \(A_1\) на расстоянии \(3\) частей от \(A\): \[ AA_1:A_1C=3:5. \]
- На \(BC\) отметь \(B_1\) так же — \(3\) части от \(B\).
- Соедини \(A_1\) и \(B_1\). Получится: \[ A_1B_1\parallel AB,\qquad A_1B_1=25. \]
В масштабе для тетради: \(AB=8\) см, \(A_1B_1=5\) см.
Как записать дано
Дано можно записать так:
\[ \triangle ABC,\quad A_1\in AC,\quad B_1\in BC, \] \[ A_1B_1\parallel AB, \] \[ AB=40\ \text{см}, \] \[ AA_1:A_1C=3:5. \]
Найти: \[ A_1B_1. \]
Если в условии говорится о плоскости, то первую строку записывают подробнее:
\[ \alpha\parallel AB,\quad \alpha\cap AC=A_1,\quad \alpha\cap BC=B_1. \]
Дальше в решении сразу можно писать:
Так как \(A_1B_1\parallel AB\), то \(\triangle CA_1B_1\sim\triangle CAB\).
