Выполните письменное задание Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1. Проведите плоскость АDО, где О - точка пересечения диагоналей. Докажите, что С1В1 лежит в этой же…
Выполните письменное задание Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1. Проведите плоскость АDО, где О - точка пересечения диагоналей. Докажите, что С1В1 лежит в этой же плоскости. Вся работа выполняется на отдельном листе / в тетради в клетку. Решения к заданиям должны быть пронумерованы, записаны аккуратно и разборчиво черной или синей ручкой. Подписанную сканкопию (фотографию) с выполненными заданиями необходимо прикрепить через "Выберите файл" — "Ответить". Перед тем как прикрепить файл, убедитесь, что сканкопия четкая и легко читаемая. Ваш ответ
Считаем, что \(O\) — точка пересечения диагоналей параллелепипеда, то есть его центр. Тогда плоскость \((ADO)\) — это плоскость сечения \(ADB_1C_1\).
Кратко. \(B_1C_1\parallel AD\), а точка \(B_1\) лежит в плоскости \((ADO)\), поэтому вся прямая \(B_1C_1\) лежит в этой плоскости.
Доказательство для записи.
В параллелепипеде противоположные рёбра параллельны, поэтому \[ AD\parallel B_1C_1. \]
\(O\) — точка пересечения диагоналей параллелепипеда. В частности, она лежит на диагонали \(DB_1\). Значит, точки \(D,O,B_1\) лежат на одной прямой. Но \(D\) и \(O\) уже лежат в плоскости \((ADO)\), следовательно, прямая \(DO\), а значит и точка \(B_1\), лежит в этой плоскости: \[ B_1\in (ADO). \]
Плоскость \((ADO)\) содержит прямую \(AD\) и точку \(B_1\). Через точку \(B_1\) проходит единственная прямая, параллельная \(AD\), — это \(B_1C_1\). Поэтому \[ B_1C_1\subset (ADO). \]
Следовательно, прямая \(C_1B_1\) лежит в плоскости \(ADO\). Что и требовалось доказать.
Проверка координатами. Пусть
\[
A(0;0;0),\quad D(0;b;0),\quad B_1(a;0;c),\quad C_1(a;b;c),
\]
\[
O\left(\frac a2;\frac b2;\frac c2\right).
\]
Уравнение плоскости \((ADO)\):
\[
cx-az=0.
\]
Для \(B_1(a;0;c)\): \(ca-ac=0\).
Для \(C_1(a;b;c)\): \(ca-ac=0\).
Обе точки подходят, значит \(C_1B_1\subset(ADO)\).
Важно: имеются в виду диагонали самого параллелепипеда, а не диагонали основания.
Обсуждение
2 сообщенияСделать чертеж
Чертёж (схема)
D1 *---------------*C1
/ : / / |
D *-------:-------*C |
| / : | |
| + | |
| : *O | |
| : + |
| : / |
| A1 *=======+=======*B1
| / . . | . /
A *---------------*B
Обозначения: * — вершина; —, |, / — сплошные (видимые) линии; :, =, . — штриховые (невидимые); + — пересечение линий (в пространстве они не пересекаются, только на проекции).
Как построить по клеткам
- Поставьте точку \(A\).
- \(B\) — на 8 клеток правее \(A\) (та же строка).
- \(C\) — на 8 клеток выше \(B\); \(D\) — на 8 клеток выше \(A\). Соедините \(A\!-\!B\!-\!C\!-\!D\) — передняя грань.
- От каждой из точек \(A,B,C,D\) отложите 4 клетки вправо и 2 клетки вверх — получите \(A_1,B_1,C_1,D_1\) (задняя грань). Соедините их между собой и с \(A,B,C,D\).
- Штриховые рёбра (они не видны): \(A_1A,\;A_1B_1,\;A_1D_1\).
- Точка \(O\) — центр параллелепипеда: проведите тонкой линией диагональ \(DB_1\) и отметьте её середину. Это и есть \(O\) (он же середина диагонали \(AC_1\), можно провести и её тонко).
- Сечение плоскостью \((ADO)\) — четырёхугольник \(ADB_1C_1\):
- \(AD\) — сплошная (это ребро передней грани);
- \(DC_1\) — сплошная (диагональ верхней грани, она видна);
- \(C_1B_1\) — сплошная (это ребро \(B_1C_1\), оно видно);
- \(B_1A\) — штриховая (диагональ нижней грани, она не видна).
- Сечение можно слегка заштриховать или обвести цветной ручкой.
Что должно быть видно на чертеже (проверка)
- \(AD\parallel B_1C_1\) — противоположные рёбра параллелепипеда, поэтому сечение \(ADB_1C_1\) — параллелограмм;
- \(O\) лежит на диагонали \(DB_1\) и является её серединой, значит \(B_1\in(ADO)\);
- отсюда \(B_1C_1\subset(ADO)\), то есть \(C_1B_1\) лежит в плоскости \(ADO\).
Рисунок полностью соответствует доказательству: на нём плоскость \((ADO)\) — это плоскость \(ADB_1C_1\), и ребро \(C_1B_1\) целиком в неё попадает.
