Реши задание на изображении
На фото два варианта — решу оба.
Кратко
Вариант 1
- \(|\overrightarrow{CM}|=|\overrightarrow{FM}|=\sqrt{13}\) см.
- а) нет; б) нет; в) да.
Вариант 2
- \(|\overrightarrow{BD}|=26\) см, \(|\overrightarrow{CD}|=10\sqrt2\) см.
- а) нет; б) да; в) нет.
Вариант 1
1. Векторы \(CM\) и \(FM\)
В прямоугольнике \(CDEF\): \[ CD=3,\quad DE=4. \] \(M\) — середина \(DE\), поэтому \[ DM=ME=2. \]
Треугольник \(CDM\) прямоугольный: \[ CM^2=CD^2+DM^2=3^2+2^2=13, \] \[ CM=\sqrt{13}\text{ см}. \]
Для \(FM\): треугольник \(FEM\) тоже прямоугольный, \(FE=CD=3\), \(EM=2\), поэтому \[ FM^2=3^2+2^2=13, \] \[ FM=\sqrt{13}\text{ см}. \]
Ответ: \(\sqrt{13}\) см и \(\sqrt{13}\) см.
2. Верны ли равенства векторов?
Важно: равенство векторов означает совпадение и длины, и направления.
\(K\) — середина \(AB\), \(S\) — середина \(CD\).
а)
\[
\overrightarrow{AK}=\frac12\overrightarrow{AB},\qquad
\overrightarrow{DS}=\frac12\overrightarrow{DC}.
\]
В равнобедренной трапеции эти векторы симметричны, но не сонаправлены.
Неверно.
б)
\[
\overrightarrow{BK}=-\overrightarrow{AK}.
\]
Векторы равны по длине, но противоположны по направлению.
Неверно.
в) Так как \(S\) — середина \(CD\), то \[ \overrightarrow{DS}=\overrightarrow{SC}. \] Верно.
Вариант 2
1. Длины \(BD\) и \(CD\)
Прямоугольная трапеция, \(AB=10\), \(AD=24\), \(\angle D=45^\circ\).
Опустим высоту \(CH\) на \(AD\). Тогда \[ CH=AB=10. \]
В прямоугольном треугольнике \(CHD\) угол \(D=45^\circ\), значит он равнобедренный: \[ DH=CH=10. \] Поэтому \[ CD=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt2\text{ см}. \]
Треугольник \(ABD\) прямоугольный: \[ BD=\sqrt{AB^2+AD^2} =\sqrt{10^2+24^2} =\sqrt{676}=26\text{ см}. \]
Ответ: \(BD=26\) см, \(CD=10\sqrt2\) см.
2. Параллелограмм \(MNPK\)
В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(O\) — середина \(MP\) и \(NK\).
а)
\[
\overrightarrow{MO}=-\overrightarrow{PO}.
\]
Векторы противоположны, а не равны.
Неверно.
б)
\[
\overrightarrow{NO}=\overrightarrow{OK},
\]
так как \(O\) — середина \(NK\).
Верно.
в) \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{MK}\) — разные стороны, выходящие из точки \(M\). У них разные направления, поэтому векторы не равны.
Неверно.
Обсуждение
2 сообщенияЧертёж
Ниже — схемы всех четырёх чертежей с размерами. Масштаб не соблюдён, но все обозначения и данные соответствуют решению.
Вариант 1, № 1
Прямоугольник \(CDEF\): \(CD=3\), \(DE=4\), \(M\) — середина \(DE\).
F ●───────────────● E
│ │
│ ● M DM = ME = 2
│ │
C ●───────────────● D
CD = 3
Отрезки \(CM\) и \(FM\) — из углов \(C\) и \(F\) к середине правой стороны.
Каждый из них — гипотенуза треугольника с катетами \(3\) и \(2\), поэтому оба равны \(\sqrt{13}\).
Вариант 1, № 2
Равнобедренная трапеция \(ABCD\), \(AB \parallel CD\); \(K\) — середина \(AB\), \(S\) — середина \(CD\).
A ●──────● B
/ K \
/ \
/ \
D ●──────●──────● C
S
Здесь \(AD=BC\) (трапеция равнобедренная), \(AK=KB\), \(DS=SC\).
Видно, что \(\overrightarrow{AK}\) и \(\overrightarrow{DS}\) направлены в разные стороны, а \(\overrightarrow{DS}\) и \(\overrightarrow{SC}\) совпадают.
Вариант 2, № 1
Прямоугольная трапеция: \(AB \perp AD\), \(AB=10\), \(AD=24\), \(\angle D=45^\circ\).
\(CH\) — высота на \(AD\).
B ●────────────● C
│ \
10 │ \ CD
│ \
A ●───────●────────● D
H 10
AH = 14, HD = 10, CH = 10
Так как \(\angle D=45^\circ\), треугольник \(CHD\) равнобедренный: \(HD=CH=10\).
Отсюда \(CD=10\sqrt2\), а \(BD\) — диагональ прямоугольного треугольника \(ABD\) со сторонами \(10\) и \(24\).
Вариант 2, № 2
Параллелограмм \(MNPK\), диагонали \(MP\) и \(NK\) пересекаются в точке \(O\).
M ●──────────────● N
\ /
\ O /
\ ● /
\ /
K ●──────────────● P
\(O\) — середина обеих диагоналей, поэтому \(MO=OP\) и \(NO=OK\).
Векторы \(\overrightarrow{MO}\) и \(\overrightarrow{PO}\) направлены противоположно, а \(\overrightarrow{NO}\) и \(\overrightarrow{OK}\) — одинаково.
Если нужно, могу прислать точные координаты всех точек, чтобы построить чертежи в масштабе.
