486
Краткий ответ. Да. Если соединить середины сторон четырёхугольника \(ABCD\) в порядке \(A\to B\to C\to D\), получится параллелограмм — параллелограмм Вариньона.
Доказательство. Пусть \(M,N,P,Q\) — середины сторон \(AB,BC,CD,DA\) соответственно.
Рассмотрим \(\triangle ABC\). Отрезок \(MN\) соединяет середины сторон \(AB\) и \(BC\), значит, \(MN\) — средняя линия треугольника. Поэтому \[ MN\parallel AC,\qquad MN=\frac12 AC. \]
Рассмотрим \(\triangle ADC\). Отрезок \(PQ\) соединяет середины сторон \(AD\) и \(CD\), значит, \[ PQ\parallel AC,\qquad PQ=\frac12 AC. \]
Следовательно, \[ MN\parallel PQ \quad\text{и}\quad MN=PQ. \] То есть в четырёхугольнике \(MNPQ\) одна пара противоположных сторон параллельна и равна. По признаку параллелограмма \(MNPQ\) — параллелограмм.
Что важно понять. Стороны параллелограмма Вариньона «идут» параллельно диагоналям исходного четырёхугольника и равны их половинам:
- \(MN\) и \(PQ\) соответствуют диагонали \(AC\);
- \(NP\) и \(MQ\) — диагонали \(BD\).
Проверка. Если \(ABCD\) — квадрат, то середины его сторон образуют тоже квадрат. Если \(ABCD\) — прямоугольник, то получится ромб: диагонали прямоугольника равны, поэтому все стороны параллелограмма Вариньона равны.
Обсуждение
2 сообщенияРешение
Решение (оформление для тетради)
Дано: четырёхугольник \(ABCD\); точки \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) — середины сторон \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) соответственно.
Доказать: \(MNPQ\) — параллелограмм.
Доказательство.
В треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\), значит, \(MN\) — средняя линия этого треугольника. Свойство средней линии: \[ MN \parallel AC,\qquad MN=\frac{1}{2}AC. \]
В треугольнике \(ADC\) точки \(P\) и \(Q\) — середины сторон \(CD\) и \(AD\), значит, \(PQ\) — средняя линия: \[ PQ \parallel AC,\qquad PQ=\frac{1}{2}AC. \]
Из пунктов 1 и 2: \[ MN \parallel PQ \quad\text{и}\quad MN=PQ \] (обе стороны параллельны \(AC\) и равны её половине).
В четырёхугольнике \(MNPQ\) пара противоположных сторон \(MN\) и \(PQ\) параллельна и равна. По признаку параллелограмма (если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то он — параллелограмм) четырёхугольник \(MNPQ\) — параллелограмм. \(\blacksquare\)
Дополнительно (аналогично): \(NP\) и \(MQ\) — средние линии треугольников \(BCD\) и \(ABD\), поэтому \[ NP \parallel BD,\quad NP=\frac12 BD;\qquad MQ \parallel BD,\quad MQ=\frac12 BD. \] Значит, стороны параллелограмма Вариньона попарно параллельны диагоналям исходного четырёхугольника, а его площадь равна половине площади \(ABCD\): \[ S_{MNPQ}=\frac12 S_{ABCD}. \]
Проверка на частных случаях. Квадрат \(\to\) квадрат; прямоугольник \(\to\) ромб (диагонали прямоугольника равны, значит, все стороны параллелограмма Вариньона равны); ромб \(\to\) прямоугольник (диагонали ромба перпендикулярны, значит, стороны параллелограмма Вариньона перпендикулярны).
