Реши задание на изображении
Краткий ответ: подходит число \(\sqrt{46}\) — вариант 3.
Как рассуждать:
Промежуток \([6;7]\) — это числа \(x\), для которых
\[ 6 \le x \le 7. \]
Возведём все части в квадрат. Так как числа положительные, знак неравенства сохраняется:
\[ 6^2 \le x^2 \le 7^2 \]
\[ 36 \le x^2 \le 49. \]
Значит, под корнем должно стоять число от \(36\) до \(49\) включительно. Из предложенных чисел это только \(46\):
\[ \sqrt{46}\in[6;7]. \]
Проверка остальных:
- \(\sqrt6<6\), потому что \(6=\sqrt{36}\), а \(6<36\);
- \(\sqrt7<6\);
- \(\sqrt{55}>7\), потому что \(55>49=7^2\).
Ответ: 3) \(\sqrt{46}\).
Обсуждение
3 сообщенияНаиболее подробнее
Ответ: вариант 3 — \(\sqrt{46}\).
Разберём подробно.
1. Что означает промежуток \([6;7]\)
Запись
\[ [6;7] \]
означает все числа \(x\), для которых одновременно выполнены два условия:
\[ x\ge 6 \quad \text{и} \quad x\le 7. \]
То есть
\[ 6\le x\le 7. \]
Нам нужно выбрать из вариантов число, которое больше или равно \(6\), но не больше \(7\). Например, туда попадают \(6;\,6{,}1;\,6{,}5;\,6{,}9;\,7\). А вот \(5{,}9\) или \(7{,}2\) уже не попадают.
2. Как сравнить число с корнем
Все варианты имеют вид \(\sqrt{a}\), где \(a\) — положительное число.
Для неотрицательных чисел действует важное правило:
Если \(a\le b\), то \(\sqrt a\le \sqrt b\).
То есть чем больше число под корнем, тем больше сам корень.
Поэтому удобно сравнить подкоренные числа с квадратами границ промежутка:
\[ 6^2=36, \]
\[ 7^2=49. \]
Получаем:
\[ 6=\sqrt{36}, \qquad 7=\sqrt{49}. \]
Значит, неравенство
\[ 6\le \sqrt{a}\le 7 \]
равносильно неравенству
\[ \sqrt{36}\le \sqrt{a}\le \sqrt{49}. \]
А поскольку корень возрастает вместе с подкоренным числом, это то же самое, что
\[ 36\le a\le 49. \]
Иными словами:
\[ \boxed{\text{под корнем должно стоять число от }36\text{ до }49\text{ включительно.}} \]
3. Проверяем каждый вариант
1) \(\sqrt{6}\)
Сравним с \(6\):
\[ 6=\sqrt{36}. \]
Так как
\[ 6<36, \]
то
\[ \sqrt{6}<\sqrt{36}=6. \]
Значит, \(\sqrt6\) меньше \(6\) и в промежуток \([6;7]\) не попадает.
Можно проверить приближённо:
\[ \sqrt6\approx 2{,}45. \]
2) \(\sqrt{7}\)
Аналогично:
\[ 7<36, \]
поэтому
\[ \sqrt7<\sqrt{36}=6. \]
То есть
\[ \sqrt7\approx 2{,}65, \]
что тоже меньше \(6\). Этот вариант не подходит.
3) \(\sqrt{46}\)
Проверяем:
\[ 36<46<49. \]
Извлекаем корень из всех частей:
\[ \sqrt{36}<\sqrt{46}<\sqrt{49}. \]
То есть
\[ 6<\sqrt{46}<7. \]
Значит,
\[ \sqrt{46}\in[6;7]. \]
Этот вариант подходит.
Для наглядности:
\[ 6{,}7^2=44{,}89, \]
\[ 6{,}8^2=46{,}24. \]
Поэтому
\[ 6{,}7<\sqrt{46}<6{,}8, \]
то есть
\[ \sqrt{46}\approx 6{,}78. \]
Число действительно находится между \(6\) и \(7\).
4) \(\sqrt{55}\)
Сравним с \(7\):
\[ 7=\sqrt{49}. \]
Так как
\[ 55>49, \]
то
\[ \sqrt{55}>\sqrt{49}=7. \]
Значит,
\[ \sqrt{55}\approx 7{,}42, \]
и оно больше \(7\), поэтому в промежуток \([6;7]\) не попадает.
4. Итоговая таблица
| Вариант | Сравнение | Подходит? |
|---|---|---|
| \(\sqrt6\) | \(\sqrt6<6\) | нет |
| \(\sqrt7\) | \(\sqrt7<6\) | нет |
| \(\sqrt{46}\) | \(6<\sqrt{46}<7\) | да |
| \(\sqrt{55}\) | \(\sqrt{55}>7\) | нет |
5. Главный принцип
Чтобы проверить, лежит ли \(\sqrt{a}\) между числами \(m\) и \(n\), где \(m,n\ge0\), можно:
- возвести \(m\) и \(n\) в квадрат;
- проверить, лежит ли \(a\) между \(m^2\) и \(n^2\).
В нашем случае:
\[ m=6,\quad n=7, \]
\[ m^2=36,\quad n^2=49. \]
Поэтому нужно выбрать число под корнем от \(36\) до \(49\). Из предложенных вариантов это только \(46\).
\[ \boxed{\text{Ответ: }3)\ \sqrt{46}.} \]
