Выполните письменное задание Плоскость, параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересекает сторону АС в точке А1, сторону ВС – в точке В1. Найдите отрезок А1В1, если АВ = 40 см,…

Чертёж для переноса в тетрадь:

                  C
                 / \
                /   \
               /     \
              /       \
             /         \
           A1-----------B1
           /             \
          /               \
         A-------40--------B

Подпишите на чертеже:

• \(AB=40\) см;
• \(A_1B_1=25\) см;
• \(A_1B_1 \parallel AB\);
• \(A_1 \in AC,\quad B_1 \in BC\);
• на стороне \(AC\): \(AA_1:A_1C=3:5\);
• на стороне \(BC\): \(BB_1:B_1C=3:5\).

Если чертить по клеткам, удобно взять масштаб: 1 клетка = 5 см.
Тогда \(AB=8\) клеток, \(A_1B_1=5\) клеток.

Задание №1

Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямоугольный параллелепипед,
\(\angle(AC,AB_1)=20^\circ\),
\(E\) — середина \(AD\), \(K\) — середина \(CD\).

Найти:
\(\angle(EK,DC_1)\).

Решение

1. В треугольнике \(ADC\) точки \(E\) и \(K\) — середины сторон \(AD\) и \(CD\).
   Значит, \(EK\) — средняя линия треугольника \(ADC\), поэтому \[ EK \parallel AC. \]

2. В прямоугольном параллелепипеде \[ \overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB_1}, \] а \[ \overrightarrow{DC_1}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CC_1}. \] Но \(AB\parallel DC\), \(BB_1\parallel CC_1\) и соответствующие рёбра равны.
   Следовательно, \[ \overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{DC_1}, \] значит, \[ AB_1 \parallel DC_1. \]

3. Угол между прямыми не меняется, если одну из прямых заменить параллельной ей: \[ \angle(EK,DC_1)=\angle(AC,AB_1). \] По условию \[ \angle(AC,AB_1)=20^\circ. \]

Ответ:
\[ \boxed{20^\circ} \]

Для чертежа в тетради достаточно изобразить параллелепипед, отметить середины \(E\) и \(K\), провести \(EK\), а также показать, что \(EK\parallel AC\) и \(DC_1\parallel AB_1\).

Вопрос № 5

Построение сечения куба плоскостью \(OKA_1\)

1. В грани \(ABB_1A_1\) соединяем точки \(A_1\) и \(K\).
   Отрезок \(A_1K\) — сторона сечения.

2. В грани \(DCC_1D_1\) через точку \(O\) проводим прямую \(OQ\parallel A_1K\), где
   \[ Q\in C_1D_1. \] Это возможно потому, что грани \(ABB_1A_1\) и \(DCC_1D_1\) параллельны, а линии пересечения секущей плоскости с параллельными плоскостями параллельны.

3. Соединяем \(A_1\) и \(Q\) — получаем сторону сечения в верхней грани.

4. В нижней грани \(ABCD\) через \(K\) проводим прямую
   \[ KP\parallel A_1Q,\qquad P\in BC. \]

5. Соединяем \(P\) и \(O\) — сторона сечения в грани \(BCC_1B_1\).

6. Соединяем последовательно точки: \[ A_1\to K\to P\to O\to Q\to A_1. \]

Искомое сечение — пятиугольник \[ \boxed{A_1KPOQ} \]

Для точного чертежа:

• \(K\) — середина \(AB\);
• \(O\) — середина \(CC_1\);
• точка \(P\) лежит на \(BC\), причём
  \[ BP:PC=2:1; \]
• точка \(Q\) лежит на \(C_1D_1\), причём
  \[ C_1Q:QD_1=1:3 \] (или \(D_1Q:QC_1=3:1\)).

Секущая плоскость пересекает грани куба по отрезкам: \[ A_1K,\quad KP,\quad PO,\quad OQ,\quad QA_1. \]

Ответ: сечение — пятиугольник \(A_1KPOQ\).

Вопрос № 6

Дано:
в основании тетраэдра лежит треугольник со сторонами
\[ 11,\ 12,\ 13, \] плоскость сечения параллельна основанию и проходит через середину высоты тетраэдра.

Найти: площадь сечения.

Решение

1. Плоскость, параллельная основанию тетраэдра, отсекает от него меньший тетраэдр, подобный данному.
   Сечение также подобно основанию.

2. Плоскость делит высоту пополам, значит, расстояние от вершины тетраэдра до плоскости сечения равно половине всей высоты: \[ k=\frac{1}{2}. \] Это коэффициент подобия.

3. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: \[ \frac{S_{\text{сеч}}}{S_{\text{осн}}}=k^2=\left(\frac12\right)^2=\frac14. \]

4. Найдём площадь основания по формуле Герона. \[ p=\frac{11+12+13}{2}=18. \] Тогда \[ S_{\text{осн}}=\sqrt{18(18-11)(18-12)(18-13)} =\sqrt{18\cdot 7\cdot 6\cdot 5} =\sqrt{3780}=6\sqrt{105}. \]

5. Следовательно, \[ S_{\text{сеч}}=\frac14\cdot 6\sqrt{105} =\frac{3\sqrt{105}}{2}. \]

Ответ: \[ \boxed{S_{\text{сеч}}=\frac{3\sqrt{105}}{2}\ \text{кв. ед.}\approx 15{,}37\ \text{кв. ед.}} \]

Для чертежа: изобразите тетраэдр, проведите высоту, отметьте её середину и через неё проведите плоскость, параллельную основанию; в сечении получится треугольник, подобный основанию с коэффициентом \(\frac12\).

Вопрос № 7

Доказательство.

Рассмотрим плоскости
\[ (CD_1E)\quad\text{и}\quad(BA_1O). \]

1. Докажем, что \(CD_1\parallel BA_1\).
   В прямоугольном параллелепипеде противоположные рёбра равны и параллельны, поэтому \[ \overrightarrow{CD_1} =\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DD_1} =\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AA_1} =\overrightarrow{BA_1}. \] Следовательно, \[ CD_1\parallel BA_1. \]

2. Докажем, что \(D_1E\parallel BO\).
   Так как \(E\) — середина \(AD\), а \(O\) — середина \(B_1C_1\), то \[ \overrightarrow{DE}=\frac12\overrightarrow{DA}, \qquad \overrightarrow{B_1O}=\frac12\overrightarrow{B_1C_1}. \] Но \(B_1C_1=AD\) как противоположные рёбра, а \(DD_1=AA_1\). Поэтому \[ \overrightarrow{D_1E} =\overrightarrow{D_1D}+\overrightarrow{DE} =-\overrightarrow{DD_1}+\frac12\overrightarrow{DA}, \] \[ \overrightarrow{BO} =\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{B_1O} =\overrightarrow{AA_1}+\frac12\overrightarrow{B_1C_1} =\overrightarrow{DD_1}+\frac12\overrightarrow{AD}. \] Значит, \[ \overrightarrow{D_1E}=-\overrightarrow{BO}, \] откуда \[ D_1E\parallel BO. \]

3. В плоскости \(CD_1E\) прямые \(CD_1\) и \(D_1E\) пересекаются в точке \(D_1\).
   В плоскости \(BA_1O\) прямые \(BA_1\) и \(BO\) пересекаются в точке \(B\).
   При этом \[ CD_1\parallel BA_1, \qquad D_1E\parallel BO. \]

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны. Следовательно, \[ \boxed{(CD_1E)\parallel(BA_1O).} \]

Что и требовалось доказать.

Вопрос № 7

Доказательство параллельности плоскостей \((CD_1E)\) и \((BA_1O)\)

Введём обозначение: пусть \(\vec{AB}=\vec a,\ \vec{AD}=\vec b,\ \vec{AA_1}=\vec c\). Тогда \[ A(0),\quad B=\vec a,\quad D=\vec b,\quad A_1=\vec c,\quad D_1=\vec b+\vec c,\quad C=\vec a+\vec b,\quad B_1=\vec a+\vec c,\quad C_1=\vec a+\vec b+\vec c . \]

1. Прямые \(BA_1\) и \(CD_1\) параллельны. \[ \vec{BA_1}=\vec c-\vec a, \qquad \vec{CD_1}=(\vec b+\vec c)-(\vec a+\vec b)=\vec c-\vec a . \] Значит, \[ \vec{BA_1}=\vec{CD_1}\ \Rightarrow\ BA_1\parallel CD_1 . \]

2. Прямые \(BO\) и \(D_1E\) параллельны.
   Так как \(E\) — середина \(AD\), а \(O\) — середина \(B_1C_1\): \[ \vec{AE}=\tfrac12\vec b,\qquad \vec{B_1O}=\tfrac12\vec{B_1C_1}=\tfrac12\vec b . \] Тогда \[ \vec{ED_1}=\vec{ED}+\vec{DD_1} =\tfrac12\vec b+\vec c, \] \[ \vec{BO}=\vec{BB_1}+\vec{B_1O} =\vec c+\tfrac12\vec b . \] Следовательно, \[ \vec{ED_1}=\vec{BO}\ \Rightarrow\ ED_1\parallel BO . \]

3. Вывод.
   В плоскости \((CD_1E)\) лежат пересекающиеся прямые \(CD_1\) и \(D_1E\).
   В плоскости \((BA_1O)\) лежат пересекающиеся прямые \(BA_1\) и \(BO\).
   При этом \[ CD_1\parallel BA_1,\qquad D_1E\parallel BO . \] Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны. Поэтому \[ \boxed{(CD_1E)\parallel(BA_1O).} \]

Что и требовалось доказать.

(Для чертежа: изобразите параллелепипед, отметьте \(E\) — середину \(AD\) и \(O\) — середину \(B_1C_1\), проведите отрезки \(CD_1,\ D_1E\) и \(BA_1,\ BO\); покажите стрелками, что \(CD_1\parallel BA_1\) и \(D_1E\parallel BO\).)