Реши пример 161

Нужно показать, что после тождественных преобразований переменные полностью сокращаются. Тогда значение выражения будет постоянным при всех допустимых значениях переменных.

а) Докажем, что значение равно \(1\)

\[ \left(\frac{2ab}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{2a+2b}\right)\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a} \]

ОДЗ:
\[ a\ne b,\qquad a\ne -b. \]

Разложим знаменатели:

\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b), \] \[ 2a+2b=2(a+b). \]

Тогда

\[ \frac{2ab}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{2a+2b} = \frac{2ab}{(a-b)(a+b)}+\frac{a-b}{2(a+b)}. \]

Приводим к общему знаменателю \(2(a-b)(a+b)\):

\[ = \frac{4ab+(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)}. \]

Раскрываем числитель:

\[ 4ab+(a-b)^2=4ab+a^2-2ab+b^2=a^2+2ab+b^2=(a+b)^2. \]

Значит,

\[ \frac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)} = \frac{a+b}{2(a-b)}. \]

Умножаем на \(\frac{2a}{a+b}\):

\[ \frac{a+b}{2(a-b)}\cdot\frac{2a}{a+b} = \frac{a}{a-b}. \]

Осталось прибавить \(\frac{b}{b-a}\). Так как

\[ \frac{b}{b-a}=-\frac{b}{a-b}, \]

получаем

\[ \frac{a}{a-b}-\frac{b}{a-b} = \frac{a-b}{a-b}=1. \]

Значит, при всех допустимых \(a,b\) значение выражения равно \(1\), то есть не зависит от переменных.

---

б) Докажем, что значение равно \(-1\)

\[ \frac{y}{x-y}-\frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}\cdot \left(\frac{x}{(x-y)^2}-\frac{y}{x^2-y^2}\right) \]

ОДЗ:

\[ x\ne y,\qquad x\ne -y. \]

Разложим числитель дроби:

\[ x^3-xy^2=x(x^2-y^2)=x(x-y)(x+y). \]

Теперь упростим выражение в скобках:

\[ \frac{x}{(x-y)^2}-\frac{y}{x^2-y^2} = \frac{x}{(x-y)^2}-\frac{y}{(x-y)(x+y)}. \]

Приводим к общему знаменателю \((x-y)^2(x+y)\):

\[ = \frac{x(x+y)-y(x-y)}{(x-y)^2(x+y)}. \]

Раскрываем числитель:

\[ x(x+y)-y(x-y)=x^2+xy-xy+y^2=x^2+y^2. \]

Поэтому

\[ \frac{x}{(x-y)^2}-\frac{y}{x^2-y^2} = \frac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)}. \]

Подставляем в исходное выражение:

\[ \frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}\cdot \frac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)} = \frac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2}\cdot \frac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)}. \]

После сокращения получаем

\[ \frac{x}{x-y}. \]

Теперь вычитаем:

\[ \frac{y}{x-y}-\frac{x}{x-y} = \frac{y-x}{x-y} = -1. \]

Значит, при всех допустимых \(x,y\) значение выражения равно \(-1\), то есть тоже не зависит от переменных.

---

Ответ:

\[ \text{а) }1; \qquad \text{б) }-1. \]

Следовательно, значения обоих выражений не зависят от значений входящих в них переменных.

Для выражений из №161 доказательство состоит в том, что на области допустимых значений (ОДЗ) каждое выражение тождественно равно постоянному числу. Покажем это.

а)

\[ \left(\frac{2ab}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{2a+2b}\right)\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a} \]

ОДЗ:

\[ a\ne b,\qquad a\ne -b. \]

Преобразуем:

\[ \frac{2ab}{(a-b)(a+b)}+\frac{a-b}{2(a+b)} = \frac{4ab+(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)}. \]

Раскрываем числитель:

\[ 4ab+(a-b)^2=4ab+a^2-2ab+b^2=(a+b)^2. \]

Тогда

\[ \frac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)} = \frac{a+b}{2(a-b)}. \]

Умножаем на \(\frac{2a}{a+b}\):

\[ \frac{a+b}{2(a-b)}\cdot\frac{2a}{a+b} = \frac{a}{a-b}. \]

Остаётся прибавить последнее слагаемое:

\[ \frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-a} = \frac{a}{a-b}-\frac{b}{a-b} = \frac{a-b}{a-b}=1. \]

Значит, при всех \(a\ne \pm b\):

\[ \text{исходное выражение}=1. \]

То есть оно не зависит от \(a\) и \(b\).

---

б)

\[ \frac{y}{x-y} - \frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2} \left( \frac{x}{(x-y)^2}-\frac{y}{x^2-y^2} \right) \]

ОДЗ:

\[ x\ne y,\qquad x\ne -y. \]

Разложим числитель дроби:

\[ x^3-xy^2=x(x^2-y^2)=x(x-y)(x+y). \]

Преобразуем выражение в скобках:

\[ \frac{x}{(x-y)^2}-\frac{y}{(x-y)(x+y)} = \frac{x(x+y)-y(x-y)}{(x-y)^2(x+y)}. \]

Раскрываем числитель:

\[ x(x+y)-y(x-y)=x^2+xy-xy+y^2=x^2+y^2. \]

Поэтому

\[ \frac{x}{(x-y)^2}-\frac{y}{x^2-y^2} = \frac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)}. \]

Умножаем:

\[ \frac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2}\cdot \frac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)} = \frac{x}{x-y}. \]

Теперь всё выражение:

\[ \frac{y}{x-y}-\frac{x}{x-y} = \frac{y-x}{x-y} = -1. \]

Значит, при всех \(x\ne \pm y\):

\[ \text{исходное выражение}=-1. \]

То есть оно не зависит от \(x\) и \(y\).

---

Вывод: в обоих случаях после тождественных преобразований переменные полностью сокращаются. На допустимых значениях получаются постоянные числа \(1\) и \(-1\), поэтому данные выражения не зависят от значений входящих в них переменных.

Суть задания в одной фразе: нужно показать, что в выражении можно стереть все буквы и поставить вместо них любые допустимые числа — ответ всё равно будет один и тот же.

Простая аналогия

Возьмём выражение

\[ (x+1)-x. \]

Какое бы \(x\) ни подставить, получается \(1\):

\[ (5+1)-5=1,\qquad (100+1)-100=1. \]

Буква «не влияет» на результат — она сокращается. Вот это и есть «значение не зависит от переменной».

В №161 у тебя дроби посложнее, но идея та же: там буквы тоже полностью сокращаются, только это не видно сразу — сначала нужно привести к общему знаменателю и сократить.

Проверим на числах, что это правда

а) Возьмём \(a=1,\ b=2\):

\[ \left(\frac{4}{-3}+\frac{-1}{6}\right)\cdot\frac{2}{3}+\frac{2}{1} =-\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}+2=-1+2=1. \]

Возьми другие \(a,b\) (например, \(a=3,\ b=1\)) — снова получишь \(1\).

б) Возьмём \(x=1,\ y=2\):

\[ \frac{2}{-1}-\frac{-3}{5}\cdot\left(1+\frac{2}{3}\right) =-2-\frac{-3}{5}\cdot\frac{5}{3}=-2+1=-1. \]

Тоже постоянное число.

Что от тебя требуют на самом деле

1. Найти ОДЗ (знаменатели не равны нулю).
2. Тождественными преобразованиями — приведением к общему знаменателю, сокращением — «убрать» все буквы.
3. Получить число: \(1\) или \(-1\). Это и есть доказательство.

Частая ошибка

Подставить два-три числа и сказать «всё сходится» — это не доказательство, а только проверка. Числа могут случайно совпасть. Доказательством считают именно преобразование выражения до постоянного числа.

Если хочешь, разберём один шаг из пункта а) — например, откуда берётся \(\frac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)}\) — на совсем маленьком примере.