Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Это продолжение: вы прислали изображение к заданию 159. Докажем оба тождества.

а) \(\dfrac{2p-q}{pq}-\dfrac{1}{p+q}\left(\dfrac{p}{q}-\dfrac{q}{p}\right)=\dfrac{1}{q}\)

1. Приведём выражение в скобках к общему знаменателю: \[ \frac{p}{q}-\frac{q}{p}=\frac{p^2-q^2}{pq}=\frac{(p-q)(p+q)}{pq}. \]

2. Умножим на \(\dfrac{1}{p+q}\): \[ \frac{1}{p+q}\cdot\frac{(p-q)(p+q)}{pq}=\frac{p-q}{pq}. \]

3. Вычтем из первой дроби: \[ \frac{2p-q}{pq}-\frac{p-q}{pq} =\frac{2p-q-(p-q)}{pq} =\frac{2p-q-p+q}{pq} =\frac{p}{pq} =\frac{1}{q}. \]

Левая часть равна правой. Тождество доказано при \(p\ne0,\ q\ne0,\ p+q\ne0\).

б) \(\dfrac{a+b}{2(a-b)}-\dfrac{a-b}{2(a+b)}=\dfrac{b}{a-b}-\dfrac{b^2-ab}{a^2-b^2}\)

Левая часть. Общий знаменатель \(2(a-b)(a+b)\): \[ \frac{a+b}{2(a-b)}-\frac{a-b}{2(a+b)} =\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)}. \] Раскроем квадраты: \[ (a+b)^2-(a-b)^2=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=4ab. \] Значит, \[ \text{ЛЧ}=\frac{4ab}{2(a-b)(a+b)}=\frac{2ab}{(a-b)(a+b)}. \]

Правая часть. Заметим, что \[ b^2-ab=b(b-a)=-b(a-b),\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b). \] Тогда \[ \frac{b^2-ab}{a^2-b^2} =\frac{-b(a-b)}{(a-b)(a+b)} =-\frac{b}{a+b}. \] Поэтому \[ \text{ПЧ}=\frac{b}{a-b}+\frac{b}{a+b} =\frac{b(a+b)+b(a-b)}{(a-b)(a+b)} =\frac{2ab}{(a-b)(a+b)}. \]

Левая и правая части равны. Тождество доказано при \(a\ne b\) и \(a\ne -b\).

Проверка примером: в а) при \(p=1,\ q=2\) обе части дают \(\frac12\); в б) при \(a=2,\ b=1\) обе части дают \(\frac43\). Всё сходится.

Да, вы поняли верно — но способов два, и я в двух пунктах использовал разные.

Главная идея

Тождество — это равенство, верное при любых допустимых значениях букв. Поэтому доказывать его нельзя «подставим числа и проверим» (это только проверка, а не доказательство). Нужно преобразовывать выражения, пока части не совпадут.

Способ 1: одну часть превратить в другую

Берём ту часть, которая сложнее, и упрощаем её, пока не получим в точности вторую часть.

Так было в а):

\[ \underbrace{\frac{2p-q}{pq}-\frac{1}{p+q}\left(\frac{p}{q}-\frac{q}{p}\right)}_{\text{ЛЧ, преобразуем}} \;\to\;\frac{1}{q} =\underbrace{\frac{1}{q}}_{\text{ПЧ, не трогали}} \]

Правую часть я вообще не считал — она и была целью.

Способ 2: обе части свести к одному выражению

Каждую часть преобразуем отдельно, а потом смотрим: получилось одинаково — значит, они равны.

Так было в б):

\[ \text{ЛЧ}\to\frac{2ab}{(a-b)(a+b)},\qquad \text{ПЧ}\to\frac{2ab}{(a-b)(a+b)} \] Совпало → левая часть равна правой.

Порядок действий внутри одной части

Здесь важна арифметика: сначала умножение и деление, потом сложение и вычитание. Поэтому в а) я:

1. сначала посчитал скобку \(\frac{p}{q}-\frac{q}{p}\) (это вычитание внутри скобок);
2. потом умножил её на \(\frac{1}{p+q}\);
3. и только в конце вычел полученное из \(\frac{2p-q}{pq}\).

Если бы я сразу начал вычитать дроби \(\frac{2p-q}{pq}-\frac{1}{p+q}\), это было бы ошибкой: \(\frac{1}{p+q}\) ещё умножается на скобку.

Чего делать нельзя

Нельзя «перенести слагаемое в другую часть со сменой знака» — так решают уравнения, где ищут конкретные \(x\). В тождестве буквы любые, и умножение/деление на выражение с буквами может обнулить знаменатель. Можно только преобразовывать выражения и обязательно записать условия: \(p\ne0,\ q\ne0,\ p+q\ne0\) и т. д.

Короткий план для любого тождества

1. Выпиши ограничения (знаменатели \(\ne0\)).
2. Разложи знаменатели на множители.
3. Выбери: упрощать одну часть или обе.
4. Приводи к общему знаменателю, раскрывай квадраты, сокращай.
5. Сравни результаты — совпали, значит доказано.

Хотите, дам одно похожее тождество, и вы попробуете сами, а я проверю по шагам?

Держите аналог пункта б) — то же устройство, но с плюсом в левой части:

Докажите тождество: \[ > \frac{x+y}{2(x-y)}+\frac{x-y}{2(x+y)}=\frac{x}{x-y}-\frac{y}{x+y} > \]

Сначала ограничения: \(x\ne y\) и \(x\ne -y\) (иначе знаменатели нулевые).

Подсказки по шагам (решение не даю — попробуйте сами)

1. Левая часть. Общий знаменатель \(2(x-y)(x+y)\), то есть \(2(x^2-y^2)\): \[ \frac{(x+y)^2+(x-y)^2}{2(x-y)(x+y)}. \] Пригодится формула: \((x+y)^2+(x-y)^2=2x^2+2y^2\). Числитель должен упроститься до \(2(x^2+y^2)\).

2. Правая часть. Общий знаменатель \((x-y)(x+y)\): \[ \frac{x(x+y)-y(x-y)}{(x-y)(x+y)} =\frac{x^2+xy-xy+y^2}{(x-y)(x+y)}=\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}. \]

3. Сравните. Если левая часть тоже даст \(\dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2}\) — тождество доказано.

4. Проверка на числах: при \(x=2,\ y=1\) обе части должны дать \(\dfrac53\). Подставьте и убедитесь, прежде чем сверять с моим ответом.

Присылайте своё решение — проверю по шагам и скажу, где что поправить.

Понял: решаем именно ваш пункт б) из задания 159.

\[ \frac{a+b}{2(a-b)}-\frac{a-b}{2(a+b)}=\frac{b}{a-b}-\frac{b^2-ab}{a^2-b^2} \]

Ограничения: \(a\ne b\) и \(a\ne -b\), иначе знаменатели обращаются в ноль.

Левая часть

Общий знаменатель: \(2(a-b)(a+b)\). Домножаем первую дробь на \((a+b)\), вторую — на \((a-b)\):

\[ \frac{(a+b)(a+b)-(a-b)(a-b)}{2(a-b)(a+b)} =\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)}. \]

Разность квадратов удобно считать так:

\[ (a+b)^2-(a-b)^2=\big((a+b)-(a-b)\big)\big((a+b)+(a-b)\big)=(2b)(2a)=4ab. \]

Значит,

\[ \text{ЛЧ}=\frac{4ab}{2(a-b)(a+b)}=\frac{2ab}{(a-b)(a+b)}. \]

Правая часть

Сначала разложим знаменатель: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).

Теперь разберём числитель второй дроби:

\[ b^2-ab=b(b-a)=-b(a-b). \]

Тогда

\[ \frac{b^2-ab}{a^2-b^2}=\frac{-b(a-b)}{(a-b)(a+b)}=-\frac{b}{a+b}. \]

Подставляем в правую часть:

\[ \text{ПЧ}=\frac{b}{a-b}-\left(-\frac{b}{a+b}\right) =\frac{b}{a-b}+\frac{b}{a+b}. \]

Приводим к общему знаменателю \((a-b)(a+b)\):

\[ \frac{b(a+b)+b(a-b)}{(a-b)(a+b)} =\frac{ab+b^2+ab-b^2}{(a-b)(a+b)} =\frac{2ab}{(a-b)(a+b)}. \]

Вывод

\[ \text{ЛЧ}=\frac{2ab}{(a-b)(a+b)},\qquad \text{ПЧ}=\frac{2ab}{(a-b)(a+b)}. \]

Части совпали — тождество доказано.

Проверка на числах: при \(a=2,\ b=1\) \[ \text{ЛЧ}=\frac{3}{2\cdot1}-\frac{1}{2\cdot3}=\frac32-\frac16=\frac43, \] \[ \text{ПЧ}=\frac{1}{1}-\frac{1-2}{4-1}=1-\left(-\frac13\right)=\frac43. \] Сходится.

Главный «секрет» этого пункта — знак: \(b^2-ab=-b(a-b)\), поэтому вычитание второй дроби превращается в плюс \(\frac{b}{a+b}\).

Понял: нужен разбор именно пункта б из задания 159, а не придуманный пример. Вот он подробно, с пояснением каждого шага.

Что доказываем

\[ \frac{a+b}{2(a-b)}-\frac{a-b}{2(a+b)} = \frac{b}{a-b}-\frac{b^2-ab}{a^2-b^2} \]

Ограничения: \(a\ne b\) и \(a\ne -b\), иначе знаменатели обращаются в нуль.

Здесь удобен второй способ: преобразуем левую и правую части отдельно и смотрим, получается ли одно и то же выражение.

Левая часть

Общий знаменатель у дробей \(2(a-b)\) и \(2(a+b)\) — это \(2(a-b)(a+b)\). Приводим:

\[ \frac{a+b}{2(a-b)}=\frac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)},\qquad \frac{a-b}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)}. \]

Вычитаем:

\[ \text{ЛЧ}=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)}. \]

Числитель можно раскрыть, а можно применить разность квадратов:

\[ (a+b)^2-(a-b)^2=\big((a+b)-(a-b)\big)\big((a+b)+(a-b)\big)=(2b)(2a)=4ab. \]

Тогда

\[ \text{ЛЧ}=\frac{4ab}{2(a-b)(a+b)}=\frac{2ab}{(a-b)(a+b)}. \]

Правая часть

Сначала упростим вторую дробь. Замечаем:

\[ b^2-ab=b(b-a)=-b(a-b),\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b). \]

Поэтому

\[ \frac{b^2-ab}{a^2-b^2} =\frac{-b(a-b)}{(a-b)(a+b)} =-\frac{b}{a+b}. \]

Теперь вся правая часть:

\[ \text{ПЧ}=\frac{b}{a-b}-\left(-\frac{b}{a+b}\right) =\frac{b}{a-b}+\frac{b}{a+b}. \]

Приводим к общему знаменателю \((a-b)(a+b)\):

\[ \text{ПЧ}=\frac{b(a+b)+b(a-b)}{(a-b)(a+b)} =\frac{ab+b^2+ab-b^2}{(a-b)(a+b)} =\frac{2ab}{(a-b)(a+b)}. \]

Вывод

\[ \text{ЛЧ}=\frac{2ab}{(a-b)(a+b)},\qquad \text{ПЧ}=\frac{2ab}{(a-b)(a+b)}. \]

Левая и правая части совпали, значит тождество доказано при \(a\ne b\), \(a\ne -b\).

Проверка на числах: при \(a=2,\ b=1\)

\[ \text{ЛЧ}=\frac{3}{2}-\frac{1}{6}=\frac{9-1}{6}=\frac{4}{3},\qquad \text{ПЧ}=1-\frac{1-2}{3}=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}. \]

Сходится.

Если вы имели в виду новый пример точно такой же структуры, но с другими буквами, скажите — придумаю и дам для тренировки.