Вопрос № 5 Баллов за вопрос: 2 Выполните письменное задание В кубе АВСDА1В1С1D1, О – середина СС1, К – середина АВ. Постройте сечение куба плоскостью ОКА1. Вся работа выполняется на отдельном листе / в тетради в клетку. Решения к заданиям должны быть пронумерованы, записаны аккуратно и разборчиво черной или синей ручкой. Подписанную сканкопию (фотографию) с выполненными заданиями необходимо прикрепить через "Выберите файл" — "Ответить". Перед тем как прикрепить файл, убедитесь, что сканкопия четкая и легко читаемая. Ваш ответ
Краткий ответ: искомое сечение — пятиугольник
\[
A_1K P O M,
\]
где \(P\in BC\), \(M\in C_1D_1\), причём
\[
BP:PC=2:1,\qquad C_1M:MD_1=1:3.
\]
То есть \(P\) ближе к \(C\), а \(M\) — к \(C_1\).
Построение
- Соедини \(A_1\) и \(K\) — это след секущей плоскости в грани \(ABB_1A_1\).
- Продли прямые \(A_1K\) и \(BB_1\) до пересечения в точке \(R\) (она получится ниже \(B\), на продолжении ребра \(BB_1\)).
- В грани \(BCC_1B_1\) соедини \(R\) с \(O\). Точку пересечения \(RO\) с ребром \(BC\) назови \(P\).
- В грани \(ABCD\) соедини \(K\) и \(P\). Продли \(KP\) до пересечения с продолжением ребра \(CD\) в точке \(S\) (за точкой \(C\)).
- В грани \(CDD_1C_1\) соедини \(S\) с \(O\). Точку пересечения \(SO\) с ребром \(C_1D_1\) назови \(M\).
- Соедини \(M\) с \(A_1\).
Получаем сечение: \[ A_1\;K\;P\;O\;M. \]
Почему это верно
Через две точки, лежащие в одной грани, проходит прямая пересечения секущей плоскости с этой гранью. Поэтому последовательно получаются следы:
- \(A_1K\) — в грани \(ABB_1A_1\);
- \(KP\) — в основании \(ABCD\);
- \(PO\) — в грани \(BCC_1B_1\);
- \(OM\) — в грани \(CDD_1C_1\);
- \(MA_1\) — в верхней грани \(A_1B_1C_1D_1\).
Проверка по координатам
Пусть ребро куба равно \(1\): \[ A(0,0,0),\quad B(1,0,0),\quad C(1,1,0), \] \[ A_1(0,0,1),\quad C_1(1,1,1). \] Тогда \[ K\left(\frac12,0,0\right),\qquad O\left(1,1,\frac12\right). \] Плоскость через \(A_1,K,O\) имеет уравнение \[ 4x-3y+2z-2=0. \]
На ребре \(BC\): \(x=1,\ z=0\), значит \[ 4-3y-2=0 \Rightarrow y=\frac23. \] То есть \[ BP:PC=\frac23:\frac13=2:1. \]
На ребре \(C_1D_1\): \(y=1,\ z=1\), поэтому \[ 4x-3+2-2=0 \Rightarrow x=\frac34. \] Значит \[ C_1M:MD_1=\frac14:\frac34=1:3. \]
Итак, на чертеже должно получиться сечение: \[ \boxed{A_1K P O M} \] — выпуклый пятиугольник с вершинами \(A_1,\ K,\ P,\ O,\ M\).
