Вопрос № 7 Баллов за вопрос: 2 Выполните письменное задание В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 точка О – середина В1С1, Е – середина АD. Докажите параллельность…
Вопрос № 7 Баллов за вопрос: 2 Выполните письменное задание В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 точка О – середина В1С1, Е – середина АD. Докажите параллельность плоскостей СD1Е и ВА1О. Вся работа выполняется на отдельном листе / в тетради в клетку. Решения к заданиям должны быть пронумерованы, записаны аккуратно и разборчиво черной или синей ручкой. Подписанную сканкопию (фотографию) с выполненными заданиями необходимо прикрепить через "Выберите файл" — "Ответить". Перед тем как прикрепить файл, убедитесь, что сканкопия четкая и легко читаемая. Ваш ответ
Плоскости \((CD_1E)\) и \((BA_1O)\) параллельны.
Доказательство. В плоскости \(CD_1E\) возьмём две пересекающиеся прямые \(CD_1\) и \(CE\), а в плоскости \(BA_1O\) — прямые \(BA_1\) и \(A_1O\).
Докажем, что \(CD_1\parallel BA_1\): \[ \overrightarrow{CD_1} =\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DD_1} =\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AA_1} =\overrightarrow{BA_1}. \] Значит, прямые \(CD_1\) и \(BA_1\) параллельны.
Докажем, что \(CE\parallel A_1O\). Так как \(E\) — середина \(AD\), а \(O\) — середина \(B_1C_1\), то \[ \overrightarrow{A_1O} =\overrightarrow{A_1B_1}+\frac12\overrightarrow{B_1C_1} =\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AD}. \] С другой стороны, \[ \overrightarrow{CE} =\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE} =\overrightarrow{BA}+\frac12\overrightarrow{DA} =-\left(\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AD}\right) =-\overrightarrow{A_1O}. \] Следовательно, \(CE\parallel A_1O\).
Прямые \(CD_1\) и \(CE\) пересекаются в точке \(C\), а прямые \(BA_1\) и \(A_1O\) — в точке \(A_1\). По признаку параллельности плоскостей: \[ (CD_1E)\parallel(BA_1O). \]
Плоскости различны: в грани \(BCC_1B_1\) плоскость \(BA_1O\) пересекается с этой гранью по прямой \(BO\), а точка \(C\) на \(BO\) не лежит.
Что запомнить: чтобы доказать параллельность плоскостей, ищут в каждой по две пересекающиеся прямые с попарно одинаковыми направлениями; середины отрезков дают в векторах множитель \(\frac12\).
Обсуждение
3 сообщенияВыполнить чертеж
Ниже — схема чертежа для тетради. \(ABCD\) — нижняя грань, \(A_1B_1C_1D_1\) — верхняя; \(A_1\) над \(A\), \(B_1\) над \(B\) и т. д.
D₁──────────C₁
╱ ╱│
╱ O ╱ │
A₁──────────B₁ │
│ │ │
│ D────────│──C
│ ╱ E │ ╱
│╱ │╱
A───────────B
Что отметить на чертеже:
- \(E\) — середина \(AD\);
- \(O\) — середина \(B_1C_1\);
- в плоскости \(CD_1E\) проведите отрезки
\[ CD_1,\quad D_1E,\quad EC; \] - в плоскости \(BA_1O\) проведите отрезки
\[ BA_1,\quad A_1O,\quad OB. \]
Обозначения параллельности:
- \(CD_1\parallel BA_1\) — отметьте по одной стрелке на этих отрезках;
- \(CE\parallel A_1O\) — отметьте по две стрелки.
Треугольники \(CD_1E\) и \(BA_1O\) можно заштриховать в разные стороны — это будут две параллельные плоскости.
Выполните письменное задание В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 угол между прямыми АС и АВ1 равен 20 градусам. Е середина АD, К середина СD. Найдите угол между ЕК и DС1. Вся работа выполняется на отдельном листе / в тетради в клетку. Решения к заданиям должны быть пронумерованы, записаны аккуратно и разборчиво черной или синей ручкой. Подписанную сканкопию (фотографию) с выполненными заданиями необходимо прикрепить через "Выберите файл" — "Ответить". Перед тем как прикрепить файл, убедитесь, что сканкопия четкая и легко читаемая. Ваш ответ
