Реши задание на изображении
Краткий ответ: плоскости \(CD_1E\) и \(BA_1O\) параллельны.
Доказательство
Нужно найти в одной плоскости две пересекающиеся прямые, параллельные двум пересекающимся прямым другой плоскости.
Покажем, что
\[ CD_1\parallel A_1B. \] При параллельном переносе на вектор \(\overrightarrow{AD}\) точки \(A_1\) и \(B\) переходят в \(D_1\) и \(C\). Значит, отрезок \(A_1B\) переходит в отрезок \(D_1C\). Поэтому \[ A_1B\parallel D_1C, \] а прямая \(D_1C\) — это та же прямая, что \(CD_1\).Покажем, что
\[ CE\parallel A_1O. \] Пусть \(P\) — середина \(BC\). Так как \(O\) — середина \(B_1C_1\), то при переносе на \(\overrightarrow{AA_1}\) точка \(P\) переходит в \(O\), а \(A\) — в \(A_1\). Поэтому \[ AP\parallel A_1O. \] В прямоугольнике \(ABCD\) точки \(E\) и \(P\) — середины противоположных сторон, значит, \[ AE=PC,\qquad AE\parallel PC. \] Следовательно, \(AECP\) — параллелограмм, и \[ AP\parallel CE. \] Отсюда \[ CE\parallel A_1O. \]В плоскости \(CD_1E\) лежат пересекающиеся прямые \(CD_1\) и \(CE\) (они пересекаются в точке \(C\)).
В плоскости \(BA_1O\) лежат пересекающиеся прямые \(A_1B\) и \(A_1O\) (они пересекаются в точке \(A_1\)).
При этом \[ CD_1\parallel A_1B,\qquad CE\parallel A_1O. \] По признаку параллельности плоскостей: \[ (CD_1E)\parallel(BA_1O). \]
Идея для похожих задач: выбираешь в одной плоскости две пересекающиеся прямые и показываешь, что в другой есть две параллельные им прямые. Одной пары параллельных прямых недостаточно.
Обсуждение
2 сообщенияКак сделать чертеж к этому заданию
Рисуй куб (или прямоугольный параллелепипед) \(ABCDA_1B_1C_1D_1\):
- \(ABCD\) — нижнее основание;
- \(A_1B_1C_1D_1\) — верхнее;
- \(AA_1, BB_1, CC_1, DD_1\) — вертикальные рёбра.
В обычном ракурсе скрытые рёбра \(AD\), \(DC\), \(DD_1\) проведи пунктиром.
Пошагово:
Отметь \(E\) — середину \(AD\). Покажи, что \(AE=ED\). Так как \(AD\) скрытое ребро, точка \(E\) лежит на пунктирной линии.
Отметь \(O\) — середину \(B_1C_1\). Покажи, что \(B_1O=OC_1\). Это ребро видимое, поэтому \(O\) на сплошной линии.
Построй плоскость \((CD_1E)\): соедини точки \(C\), \(D_1\) и \(E\). Получится треугольник \(CD_1E\). Его стороны лежат на скрытых гранях, поэтому удобно провести их пунктиром или тонкими линиями и заштриховать одним цветом.
Построй плоскость \((BA_1O)\): соедини \(B\), \(A_1\) и \(O\). Получится треугольник \(BA_1O\). Его стороны лежат на видимых гранях, поэтому проведи их сплошными линиями и заштрихуй другим цветом.
Чтобы чертёж сразу “работал” на доказательство, отметь параллельность:
- \(CD_1\) и \(A_1B\) — одинаковыми стрелками;
- \(CE\) и \(A_1O\) — двумя стрелками.
Дополнительно можно отметить \(D_1E\parallel BO\).
Что должно получиться: два треугольника — \(CD_1E\) и \(BA_1O\), у которых соответствующие стороны параллельны. Именно это и показывает, что плоскости параллельны.
Если чертёж нужен для подробного доказательства, можно добавить точку \(P\) — середину \(BC\) — и провести \(AP\) пунктиром: через неё удобно объяснять, почему \(CE\parallel A_1O\). Но для итогового чертежа достаточно точек \(E\) и \(O\).
