Вопрос № 5 Баллов за вопрос: 2 Выполните письменное задание В кубе АВСDА1В1С1D1, О – середина СС1, К – середина АВ. Постройте сечение куба плоскостью ОКА1. Вся работа выполняется…
Вопрос № 5 Баллов за вопрос: 2 Выполните письменное задание В кубе АВСDА1В1С1D1, О – середина СС1, К – середина АВ. Постройте сечение куба плоскостью ОКА1. Вся работа выполняется на отдельном листе / в тетради в клетку. Решения к заданиям должны быть пронумерованы, записаны аккуратно и разборчиво черной или синей ручкой. Подписанную сканкопию (фотографию) с выполненными заданиями необходимо прикрепить через "Выберите файл" — "Ответить". Перед тем как прикрепить файл, убедитесь, что сканкопия четкая и легко читаемая. Ваш ответ
Кратко: сечение куба плоскостью \(OKA_1\) — это пятиугольник
\[
A_1K\!M\!ON,
\]
где
\[
M\in BC,\qquad BM:MC=2:1,
\]
\[
N\in C_1D_1,\qquad C_1N:ND_1=1:3.
\]
То есть порядок вершин:
\[
A_1\to K\to M\to O\to N\to A_1.
\]
Построение
- Отметь середину \(K\) ребра \(AB\) и середину \(O\) ребра \(CC_1\).
- В передней грани \(ABB_1A_1\) соедини \(A_1\) и \(K\):
\[ A_1K \] — линия пересечения секущей плоскости с этой гранью. - Противоположная грань \(DCC_1D_1\) параллельна грани \(ABB_1A_1\). Поэтому секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Через \(O\) в грани \(DCC_1D_1\) проведи прямую, параллельную \(A_1K\). Она пересечёт ребро \(C_1D_1\) в точке \(N\).
- В верхней грани соедини \(A_1\) и \(N\).
- Нижняя грань \(ABCD\) параллельна верхней. Поэтому через \(K\) в нижней грани проведи прямую, параллельную \(A_1N\). Она пересечёт ребро \(BC\) в точке \(M\).
- Соедини \(M\) с \(O\): обе точки лежат в грани \(BCC_1B_1\).
Получаем замкнутый пятиугольник: \[ \boxed{A_1KMO N} \]
Почему это верно
Используем свойство: если две параллельные плоскости пересечь третьей, то линии пересечения параллельны.
Грани \(ABB_1A_1\) и \(DCC_1D_1\) параллельны, значит \(ON\parallel A_1K\).
Грани \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) тоже параллельны, значит \(KM\parallel A_1N\).
Все стороны построенного пятиугольника лежат в гранях куба, поэтому это и есть искомое сечение.
Проверка по координатам. Если ребро куба равно \(1\), можно взять
\[
A(0,0,0),\ B(1,0,0),\ C(1,1,0),\ A_1(0,0,1).
\]
Тогда плоскость имеет уравнение
\[
4x-3y+2z=2.
\]
Точки
\[
K\left(\tfrac12,0,0\right),\quad
M\left(1,\tfrac23,0\right),\quad
O\left(1,1,\tfrac12\right),\quad
N\left(\tfrac34,1,1\right)
\]
ей удовлетворяют, значит сечение построено верно.
Обсуждение
2 сообщенияРисунок
Вот рисунок-схема для перерисовки в тетрадь.
Звёздочками * показаны линии сечения — на листе соедини их сплошной линией (лучше цветной ручкой):
D₁────────────────N─────C₁
╱ │ * * │
╱ * │ ╱ * │
A₁──────────┼───────────B₁ O
│ * │ │ *│
│ * │ │ * │
│ * D───────────┼────────*──C
│ * │ M
│ ╱ * * │ ╱
A───────────K───────────B
Порядок соединения вершин сечения:
\[ A_1 \to K \to M \to O \to N \to A_1 \]
На рисунке:
- \(K\) — середина \(AB\);
- \(O\) — середина \(CC_1\);
- \(M\in BC\), причём \(BM:MC=2:1\);
- \(N\in C_1D_1\), причём \(C_1N:ND_1=1:3\).
То есть \(M\) находится ближе к \(C\), а \(N\) — ближе к \(C_1\).
Сечение — пятиугольник \(\boxed{A_1KMON}\).
