Сделать также как на 1 фотке координаты
Кратко
Для точек \(A(-7;\,6;\,1)\), \(B(2;\,-1;\,-7)\), \(C(1;\,0;\,1)\), \(D(-2;\,1;\,-1)\):
\[\vec{AB}-3\vec{BC}+4\vec{CD}=(0;\,-6;\,-40)\] \[|\vec{AB}|=\sqrt{194},\qquad |\vec{BC}|=\sqrt{66},\qquad |\vec{CD}|=\sqrt{14}\]1) Вектор \(\vec{AB}-3\vec{BC}+4\vec{CD}\)
Правило (то же, что в примере на 1-м фото): координаты вектора \(=\) «конец минус начало»: \(\vec{XY}=(x_Y-x_X;\,y_Y-y_X;\,z_Y-z_X)\).
\[\vec{AB}=(2-(-7);\ -1-6;\ -7-1)=(9;\,-7;\,-8)\] \[\vec{BC}=(1-2;\ 0-(-1);\ 1-(-7))=(-1;\,1;\,8)\] \[\vec{CD}=(-2-1;\ 1-0;\ -1-1)=(-3;\,1;\,-2)\]Умножение на число — каждую координату:
\[3\vec{BC}=(-3;\,3;\,24)\Rightarrow -3\vec{BC}=(3;\,-3;\,-24)\] \[4\vec{CD}=(-12;\,4;\,-8)\]Складываем покоординатно:
\[\vec{AB}-3\vec{BC}+4\vec{CD}=(9+3-12;\ -7-3+4;\ -8-24-8)=(0;\,-6;\,-40)\]2) Длины векторов
\(|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\):
\[|\vec{AB}|=\sqrt{9^2+(-7)^2+(-8)^2}=\sqrt{81+49+64}=\sqrt{194}\approx13{,}9\] \[|\vec{BC}|=\sqrt{(-1)^2+1^2+8^2}=\sqrt{1+1+64}=\sqrt{66}\approx8{,}1\] \[|\vec{CD}|=\sqrt{(-3)^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}\approx3{,}7\]Проверка
Раскроем сумму через сами точки: \(\vec{AB}-3\vec{BC}+4\vec{CD}=(B-A)-3(C-B)+4(D-C)=4B-A-7C+4D\).
\[4B=(8;-4;-28),\quad -A=(7;-6;-1),\quad -7C=(-7;0;-7),\quad 4D=(-8;4;-4)\]Сумма: \((8+7-7-8;\ -4-6+0+4;\ -28-1-7-4)=(0;\,-6;\,-40)\) — совпало. ✔
Плюс грубая проверка длин: \(|\vec{AB}|\approx13{,}9\) больше самой большой разности координат \(9\) — порядок верный.
Я читал координаты так: \(A(-7;6;1)\), \(B(2;-1;-7)\), \(C(1;0;1)\), \(D(-2;1;-1)\). Если у \(B\) последняя координата \(-1\), а не \(-7\) — скажи, пересчитаю.
