Реши задание на изображении

На фото шесть номеров. Кратко: 28) \(BC=AD\); 29), 30) доказательства; 32) \(35^\circ\); 33) \(70^\circ\); 34) \(BC=9\) см.

28. Дано \(AB=CD\). Если потребовать ещё \(BC=AD\), то в четырёхугольнике обе пары противоположных сторон равны. По признаку параллелограмма \(ABCD\) — параллелограмм.
Одного условия \(BC\parallel AD\) недостаточно: получится равнобедренная трапеция.

29. Точка \(O\) лежит на \(AC\), поэтому
\[ \angle BAO=\angle BAC,\qquad \angle DCO=\angle ACD. \] По условию эти углы равны. Кроме того, \(AO=OC\), а \(\angle AOB=\angle COD\) как вертикальные. Значит, треугольники \(AOB\) и \(COD\) равны по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда \(BO=OD\).

То есть диагонали \(AC\) и \(BD\) точкой \(O\) делятся пополам. Если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.

30. Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AFCE\). В параллелограмме диагонали делятся пополам: \[ AO=OC,\qquad FO=OE. \] По рисунку точки \(B\) и \(D\) лежат на прямой \(FE\) по разные стороны от \(O\), причём \(FB=ED\). Поэтому \(BO=DO\), то есть \(O\) — середина \(BD\).

Значит, в четырёхугольнике \(ABCD\) диагонали \(AC\) и \(BD\) взаимно делятся пополам. Следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм.

32. Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам, поэтому \(OC=OD\).
Углы \(AOD\) и \(COD\) смежные: \[ \angle COD=180^\circ-70^\circ=110^\circ. \] Треугольник \(COD\) равнобедренный, значит, \[ \angle OCD=\frac{180^\circ-110^\circ}{2}=35^\circ. \]

33. Пусть \(x=\angle ABD\). Так как \(O\) лежит на \(BD\), то \(\angle ABO=x\).
В прямоугольнике \(OA=OB\), поэтому треугольник \(AOB\) равнобедренный, и \[ \angle AOB=180^\circ-2x. \] Углы \(AOB\) и \(COD\) вертикальные, значит, \(\angle COD=180^\circ-2x\). По условию: \[ x=(180^\circ-2x)+30^\circ. \] Отсюда \(3x=210^\circ\), \(x=70^\circ\).

34. \(AC\) и \(BD\) — диаметры одной окружности, поэтому они пересекаются в центре \(O\) и делятся пополам: \[ AO=OC,\qquad BO=OD. \] Значит, \(ABCD\) — параллелограмм. Кроме того, диаметры равны: \(AC=BD\). Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.

Тогда \(\angle BAD=90^\circ\), а \(BD=AC=18\) см. В прямоугольном треугольнике \(ABD\) угол \(ABD=30^\circ\), и против него лежит катет \(AD\), равный половине гипотенузы: \[ AD=\frac{BD}{2}=9\text{ см}. \] Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому \[ BC=AD=9\text{ см}. \]

Проверка: в №32 \(110^\circ+35^\circ+35^\circ=180^\circ\); в №33 \(\angle COD=40^\circ\), и \(70^\circ\) действительно на \(30^\circ\) больше; в №34 прямоугольный треугольник с углом \(30^\circ\) даёт катет \(9\) см при гипотенузе \(18\) см.